1、已知： AB=4，AC=2，D是 BC中点， AD是整数，求 AD
解：延长 AD到 E, 使 AD=DE ∵ D是 BC中
点 ∴ BD=DC 在△ ACD和△ BDE中 AD=DE
B
∠ BDE=∠
ADC BD=DC ∴△ ACD≌△ BDE ∴ AC=BE=2 ∵在△ ABE中
AB-BE＜AE＜ AB+BE
∵ AB=4
即 4-2 ＜2AD＜ 4+2 1＜AD＜3
∴ AD=2
2、已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠A
1
2
B E
C F D
证明：连接 BF 和 EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠EDF ∴△ BCF≌△ EDF (S.A.S)
第1页共22页
A
C
D
1=∠ 2
∴ BF=EF,∠ CBF=∠ DEF
连接 BE
在△ BEF中 ,BF=EF
∴ ∠ EBF=∠ BEF。
∵ ∠ ABC=∠ AED。
∴ ∠ ABE=∠ AEB。
∴ AB=AE。
在△ ABF和△ AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴△ ABF≌△ AEF。
∴ ∠ BAF=∠ EAF ( ∠1=∠ 2) 。
3、已知：∠ 1=∠2，CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC
A
1 2 F
C
D
E
B
过 C 作 CG∥EF 交 AD的延长线于点
G CG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGD DE＝DC
∠FDE＝∠ GDC（对顶角） ∴△ EFD≌△ CGD
EF＝CG
∠CGD＝∠ EFD
又， EF∥AB
∴，∠ EFD＝∠1
∠1=∠2
∴∠ CGD＝∠2
∴△ AGC为等腰三角形，
AC＝CG 又 EF＝CG ∴ EF＝AC
4、已知： AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠ B=2∠C
A
第2页共22页
证明：延长 AB取点 E，使 AE＝AC，连接 DE
∵ AD平分∠ BAC
∴∠ EAD＝∠ CAD
∵ AE＝AC，AD＝ AD
∴△ AED≌△ ACD （SAS）
∴∠ E＝∠ C
∵ AC＝AB+BD
∴ AE＝AB+BD
∵ AE＝AB+BE
∴ BD＝BE
∴∠ BDE＝∠ E
∵∠ ABC＝∠ E+∠BDE
∴∠ ABC＝2∠E
∴∠ ABC＝2∠C
5、已知： AC平分∠ BAD，CE⊥ AB，∠ B+∠D=180°，求证：证明：
在 AE上取 F，使 EF＝EB，连接 CF
∵ CE⊥AB
∴∠ CEB＝∠ CEF＝90°
∵ EB＝EF，CE＝ CE，
第3页共22页
AE=AD+BE
∴△ CEB≌△ CEF
∴∠ B＝∠ CFE
∵∠ B＋∠ D＝180°，∠ CFE＋∠ CFA＝180°
∴∠ D＝∠ CFA
∵ AC平分∠ BAD
∴∠ DAC＝∠ FAC
∵ AC＝AC
∴△ ADC≌△ AFC（SAS）
∴ AD＝AF
∴ AE＝AF＋FE＝ AD＋BE
6、如图，四边形 ABCD中， AB∥DC，BE、CE分别平分∠ ABC、∠BCD，且点 E 在 AD上。求
证： BC=AB+DC。
又∵∠ DCE=∠FCE
在 BC上截取 BF=AB，连接 EF
CE 平分∠ BCD
CE=CE
∴⊿ DCE≌⊿ FCE（AAS）
∵ BE平分∠ ABC
∴∠ ABE=∠FBE
又∵ BE=BE
∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
∴⊿ ABE≌⊿ FBE（SAS）
∴∠ A=∠ BFE
∵ AB//CD
∴∠ A+∠ D=180o
∵∠ BFE+∠CFE=180o
∴∠ D=∠ CFE
7. P 是∠ BAC平分线 AD上一点， AC>AB，求证： PC-PB ∴PC＜（ AC－AE）＋ PB ∴PC－ PB＜AC－ AB。 使 AE＝ AB。 ∵AE＝ AB AP ＝AP C ∠EAP＝∠ BAE， ∴△ EAP≌△ BAP A P B D ∴PE＝ PB。 PC＜EC＋ PE 第4页共22页 8. 已知∠ ABC=3∠C，∠ 1=∠ 2， BE⊥AE，求证： AC-AB=2BE 证明： 在 AC上取一点 D，使得角 DBC=角 C ∴点 E 一定在直线 BD上， 在等腰三角形 ABD中， AB=AD，AE垂直 BD ∴点 E 也是 BD的中点 ∵∠ ABC=3∠C ∴∠ ABD=∠ABC- ∠DBC=3∠C- ∠C=2∠C； ∴BD=2BE ∵∠ ADB=∠C+∠DBC=2∠C; ∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB=2BE ∴ AB=AD ∴ AC – AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形 ABD中，AE是角 BAD的角平 分线， ∴ AE垂直 BD ∵BE⊥AE 9. 如图，在△ ABC中， BD=DC，∠ 1=∠2，求证： AD⊥ BC．解：延长 AD至 BC于点 E, ∵BD=DC ∴△ BDC是等腰三角形 ∴∠ DBC=∠DCB 又∵∠ 1=∠2 ∴∠ DBC+∠1=∠DCB+∠2 即∠ ABC=∠ACB ∴△ ABC是等腰三角形 ∴AB=AC 在△ ABD和△ACD中 AB=AC ∠1=∠2 BD=DC ∴△ ABD和△ ACD是全等三角形（边角边） ∴∠ BAD=∠CAD ∴AE是△ ABC的中垂线 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 10. 如图， OM平分∠ POQ， MA⊥OP, MB⊥OQ， A、 B 为垂足， AB交 OM于点 N．求证：∠ OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠ POQ ∴∠ POM＝∠ QOM ∵MA⊥ OP，MB⊥OQ 第5页共22页 ∴∠ MAO＝∠ MBO＝90 ∵OM＝ OM ∴△ AOM≌△ BOM （ AAS） ∴OA＝ OB ∵ON＝ ON ∴△ AON≌△ BON （ SAS） ∴∠ OAB=∠OBA，∠ ONA=∠ONB ∵∠ ONA+∠ONB＝ 180 ∴∠ ONA＝∠ ONB＝90 ∴OM⊥ AB 11. 如图，已知 AD∥BC，∠ PAB的平分线与∠ CBA的平分线相交于 于 D．求证： AD+BC=AB． 证明： 在 AB上取 F，使 AF＝AD，连接 EF E，CE的连线交 AP P E D C ∵ AE平分∠ DAB ∴∠ DAE=∠FAE A B 在⊿ ADE和⊿ AFE中 AD＝ AF ∠DAE=∠FAE AE=AE ∴⊿ ADE≌⊿ AFE（SAS） ∴∠ ADE=∠AFE ∵ AB//CD ∴∠ ADE+∠C=180o ∵∠ AFE+∠BFE=180o ∴∠ C=∠ BFE ∵ BE 平分∠ ABC ∠ CBE=∠ FBE 在⊿ BFE和⊿ BCE中 ∠C=∠ BFE ∠CBE=∠FBE CE=CE ∴⊿ BFE≌⊿ BCE（AAS） ∴ CB=BF ∴ AB=AF+FB=AD+BC 第6页共22页 12. 如图①，E、F 分别为线段 AC上的两个动点， 且 DE⊥AC于 E，BF⊥AC于 F，若 AB=CD， AF=CE，BD交 AC于点 M． （1）求证： MB=MD，ME=MF （ 2）当 E、 F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． (1) 证：∵ DE⊥AC于 E，BF⊥AC于 F， ∴∠ DEC=∠BFA=90°， DE∥BF， 在 Rt△DEC和 Rt△BFA中， ∵AF=CE， AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（ HL） ∴DE=BF． 在△ DEM和△ BFM中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF ∴△ DEM≌△ BFM(AAS) ∴ MB=MD，ME=MF (2) 证：∵ DE⊥AC于 E，BF⊥AC于 F， ∴∠ DEC=∠BFA=90°， DE∥BF，在 Rt△DEC和 Rt△BFA中， ∵AF=CE， AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（ HL） ∴DE=BF． 在△ DEM和△ BFM 中 ∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF DE=BF ∴△ DEM≌△ BFM(AAS) ∴ MB=MD，ME=MF 13 如图，△ ABC中，∠ BAC=90 度， AB=AC，BD是∠ ABC的平分线， 第7页共22页 的延长线垂直于过C BD 点的直线于 E，直线 CE交 BA的延长线于 F． 求证： BD=2CE． 证：∵∠ CEB=∠ CAB=90° F ∠ ADB=∠ CDE A 在△ ABD中，∠ ABD = 180°- ∠CAB-∠ADB 在△ CED中，∠ DCE = 180°- ∠CEB-∠CDE E D ∴∠ ABD =∠ DCE B C 在△ ABD和△ ACF中 ∠ DAB=∠ CAF AB=AC ∠ ABD =∠DCF ∴△ ABD≌△ ACF(ASA) ∴ BD=CF ∵ BD是∠ ABC的平分线 ∴∠ FBE =∠ CBE 在△ FBE和△ CBE中 ∠ FBE =∠CBE BE=BE ∠ BEF =∠BEC ∴△ FBE≌△ CBE(ASA) ∴ CE=FE CF=2CE ∴ BD=2CE 14. 如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠C。求证：△ AED≌△ BFC。 证明：∵ DF=CE， ∴DF-EF=CE-EF， D EF 即 DE=CF， 在△ AED和△ BFC中， ∵ AD=BC， ∠D=∠C ， DE=CF ∴△ AED≌△ BFC（ SAS） C A B 15. 如图： AE、 BC交于点 M，F 点在 AM上， BE∥CF， BE=CF。 求证： AM是△ ABC的中线。 证明：∵ BE‖CF ∵BE=CF ∴△ BEM≌△ CFM ∴∠ E=∠ CFM，∠ EBM=∠FCM 第8页共22页 ∴ BM=CM ∴ AM是△ ABC的中线 A F B M E C 16.AB=AC，DB=DC， F 是 AD的延长线上的一点。求证： BF=CF 证：在△ ABD与△ ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ ABD≌△ ACD(SSS) ∴∠ ADB=∠ADC ∴△ FBD≌△ FCD(SAS) ∴BF=FC A ∴∠ BDF=∠FDC D B C 在△ BDF与△ FDC中 BD=DC ∠ BDF=∠ FDC DF=DF 17. 如图： AB=CD， AE=DF，CE=FB。求证：证：∵ CF=CE+EF EB=EF+FB 又∵ CE=FB F AF=DE。 AB=CD ∠ABF =∠ DCE BF=CE ∴△ ABF≌△ CDE (SAS) ∴AF=ED A ∴ CF=EB 在△ CDF与△ ABE中 AB=CD AE=DF B F BE=CF ∴△ CDF≌△ ABE(SSS) ∴∠ DCB=∠ABF E C 在△ ABF与△ CDE中 D 18. 公园里有一条“ Z”字形道路 ABCD，如图所示，其中 AB∥ CD，在 AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳 E，F，M，且 BE＝CF，M在 BC的中点，试说明三只石凳 E，F，M恰好 在一条直线上 . 证明：连接 EF ∵AB∥CD 第9页共22页 ∴∠ B=∠C ∴△ BEM≌△ CFM（ SAS） ∵M是 BC中点 ∴CF=BE ∴BM=CM 在△ BEM和△ CFM中 BE=CF ∠B=∠C BM=CM 19. 已知：如图所示， AB＝AD， BC＝DC，E、F 分别是 DC、 BC的中点，求证： AE＝AF。证：连接 AC DE=BF ∵在△ ADC和△ ABC中 ∴△ ADE≌△ ABF（SAS） AD=AB ∴AE=AF DC=BC AC=AC ∴△ ADC≌△ ABC（SSS） D ∴∠ B=∠ D E ∵ E、 F 分别是 DC、 BC的中点 A C 又∵ BC＝ DC F∴ DE=BF B ∵在△ ADE和△ ABF中 AD=AB ∠D=∠B 20. 如图，在四边形 ABCD中， E 是 AC上的一点，∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，求证 : ∠5=∠6．证明：∵在△ ADC和△ ABC中 ∴△ DEC≌△ BEC（SAS） ∠BAC=∠ DAC ∴∠ DEC=∠BEC ∠BCA=∠ DCA AC=AC ∴△ ADC≌△ ABC（AAS）D ∵ AB=AD，BC=CD A1 5 3 C 在△ DEC与△ BEC中2E 6 4 CE=CE B ∠BCA=∠ DCA BC=CD 21. 如图，在△ ABC中， AD为∠ BAC的平分线， DE⊥AB于 E， DF⊥AC于 F。 求证： DE=DF． 证明：∵ AD是∠ BAC的平分线 ∴∠ EAD=∠FAD 第 10页共22页 ∵ DE⊥AB，DF⊥ AC ∴∠ BFD=∠CFD=90° ∴∠ AED与∠ AFD=90° 在△ AED与△ AFD中 ∠EAD=∠ FAD AD=AD A E B D F C ∠AED=∠ AFD ∴△ AED≌△ AFD（AAS） ∴AE=AF 22. 如图： AB=AC， ME⊥AB， MF⊥AC，垂足分别为 E、 F， ME=MF。求证： MB=MC 证明： ∵ AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵ ME⊥AB，MF⊥ AC ∴MB=MC． A ∴∠ BEM=∠CFM=90° 在△ BME和△ CMF中 E F M C ∵ ∠ B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△ BME≌△ CMF（AAS） 23. 在△ ABC 中， BE ② DE AD BE； ACB 90 ， AC B BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD MN于D， MN 于 E .(1) 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证： ① ADC ≌ CEB ； (2) 当直线 MN 绕点 C 旋转到 立吗？若成立，请给出证明； 图 2 的位置时，（ 1）中的结论还成 若不成立，说明理由 . （ 1） ①∵∠ ADC=∠ACB=∠BEC=90°， ∴∠ CAD+∠ACD=90°，∠ BCE+∠ CBE=90°，∠ ACD+∠ BCE=90°． ∴∠ CAD=∠BCE． ∵ AC=BC， ∴△ ADC≌△ CEB． 第11页共22页 ②∵△ ADC≌△ CEB， ∴ CE=AD，CD=BE． ∴ DE=CE+CD=AD+BE． （ 2）∵∠ ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ ACD=∠CBE． 又∵ AC=BC， ∴△ ACD≌△ CBE． ∴ CE=AD，CD=BE． ∴ DE=CE﹣CD=AD﹣BE 24. 如图所示，已知 AE⊥AB， AF⊥AC，AE=AB， AF=AC。求证：（ 1）F E A M B C （ 1）∵ AE⊥ AB，AF⊥AC， ∴∠ BAE=∠CAF=90°， ∴∠ BAE+∠BAC=∠CAF+∠ BAC， 即∠ EAC=∠BAF， 在△ ABF和△ AEC中， ∵ AE=AB，∠ EAC=∠ BAF， AF=AC， ∴△ ABF≌△ AEC（SAS）， ∴ EC=BF； （ 2）如图，根据（ 1），△ ABF≌△ AEC， ∴∠ AEC=∠ABF， ∵ AE⊥AB， ∴∠ BAE=90°， ∴∠ AEC+∠ADE=90°， ∵∠ ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ ABF+∠BDM=90°， 在△ BDM中，∠ BMD=180°- ∠ABF-∠BDM=180°-90 °=90°，∴ EC⊥BF． 25. 如图： BE⊥ AC，CF⊥ AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（第 12页共22页 EC=BF；（2）2）AM⊥AN。⊥BF EC N A 4 3 F E 1 M 2 B C 证明： （ 1）∵ BE⊥ AC，CF⊥AB ∴∠ ABM+∠BAC=90°，∠ ACN+∠ BAC=90° ∴∠ ABM=∠ACN ∵ BM=AC，CN=AB ∴△ ABM≌△ NAC ∴ AM=AN （ 2）∵△ ABM≌△ NAC ∴∠ BAM=∠N ∵∠ N+∠ BAN=90° ∴∠ BAM+∠BAN=90° 即∠ MAN=90° ∴ AM⊥AN 26. 已知：如图， AB＝CD，DE⊥ AC，BF⊥AC ， E， F 是垂足， DE 求证： AB∥ CD ． 证明： ∵ DE⊥AC，BF⊥ AC D C ∴∠ CED=∠AFB=90o F 又∵ AB=CD， BF=DE ∴ Rt⊿ABF≌ Rt⊿CDE（HL） E ∴ AF=CE A B ∠ BAF=∠ DCE ∴ AB//CD 第 13页共22页 BF ． 1、如图，四边形 ABCD 中，∠ A＝∠ C=90 °， BE 平分∠ ABC，DF 平分∠ ADC，试问 BE 与 DF 平行吗？为什么？ 2、如图，△ ABC中，∠ A=36°，∠ ABC=40°， BE平分∠ ABC，∠ E=18。试证明 CE平分∠ ACD. 3、已知：如图∠ 1=∠ 2，∠ C=∠D，那么∠ A=∠ F 吗？试说明理由 D E F 2 H G 1 4、如图 AB ∥CD ∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，试说明 AD ∥ BE ； A B C 5、已知 AB ∥ CD ，直线 a 交 AB 、 CD 分别于点 E、 F，点 M 在 EF 上， P 是直线 CD 上的一个动点，（点P不与 F重合） （ 1）当点 P 在射线 FC 上移动时，∠ FMP+ ∠FPM= ∠AEF 成立吗？请说明理由。 （ 2）当点 P 在射线 FD 上移动时，∠ FMP+ ∠ FPM 与∠ AEF 有什么关系？并说明你的理由。 第 14页共22页 6、如图， E、F 分别 AB、 CD是上一点， 2 互余， EC AF . 试说明 AB // CD D ， 1 与 C 7、如图，已知 ABC， AD BC 于 D， E 为 AB 上一点， EF BC 于 F， DG // BA 交 CA 于 G. 求证 1 2 . 8、如图 5-29，已知： AB//CD ，求证： B+ D+ BED = 360 （至少用三种方法） A B E C D 9、如图，已知 AB ∥ CD，∠ 1：∠ 2：∠ 3=1： 2： 3，求证： BA 平分∠ EBF E A 2 1 3 C F D 10、已知，如图， AB ∥ CD ∥ GH ，EG 平分∠ BEF， FG 平分∠ EFD,求证：∠ EGF=90 ° A E 1 3 4 G B H C F 2 D 11.如图， AD ∥BC ，∠ B=∠ D ，求证： AB ∥ CD 。 A B D C 12.如图 CD ⊥AB ，EF⊥ AB ，∠ 1=∠ 2，求证：∠ AGD= 第 15页共22页 ∠ ACB 。 A D / G F 2 3 B E C 13. 已知∠ 1=∠ 2，∠ 1=∠ 3，求证： CD∥OB 。 A P C 3 D / 2 O B 14. 如图，已知∠ 1=∠ 2，∠ C=∠ CDO ，求证： CD ∥ OP。 D P / 2 C O B 15. 已知∠ 1=∠ 2，∠ 2=∠ 3，求证： CD∥EB 。 C 3 D 2 / E O B 16. 如图∠ 1=∠ 2，求证：∠ 3=∠ 4。 / 3 A B C D 4 2 17. 已知∠ A= ∠ E， FG∥DE，求证：∠A B 第 16页共22页 C F G E D CFG= ∠B 。 18.已知，如图，∠ 1=∠ 2，∠ 2+∠ 3=1800 ，求证： a∥ b， c∥ d。 c d 1 a 2 3 b 19.如图， AC ∥ DE， DC∥EF ， CD 平分∠ BCA ，求证： EF 平分∠ BED 。 A D F E C 20、已知，如图，∠ 1=450 ，∠ 2=1450 ，∠ 3=450 ，∠ 4=1350 ，求证： l 1∥ l 2， l3∥ l5，l3 l1 1 l2 2 3 4 4 l 5 21、如图，∠ 1=∠ 2，∠ 3= ∠ 4，∠ E=900 ，求证： AB ∥ CD。 AB 1 2 E 3 4 C D 22、如图，∠ A=2 ∠ B ，∠ D=2 ∠ C，求证： AB ∥ CD。 C D O 第 17页共22页 A B 2∥ l4。 B l 23、如图， EF∥ GH， AB 、AD 、 CB、 CD 是∠ EAC 、∠ FAC、∠ GCA 、∠ HCA 的平分线，求证：∠ BAD= ∠ B= ∠ C=∠ D。 A E F D H B G C 24、已知，如图， B 、E、C 在同一直线上，∠ A= ∠ DEC ，∠ D=∠ BEA ，∠ A+ ∠ D=90 ，求证： AE ⊥ DE ，AB ∥ CD。 0A D B E C 25、如图，已知， BE 平分∠ ABC ，∠ CBF= ∠ CFB=65 ，∠ EDF=50 ，， 求 00 证： BC∥ AE 。 E D C A B 0 26、已知，∠ D=90 ，∠ 1=∠2， EF⊥ CD ，求证：∠ 3= ∠B 。 A 1 D E 3 F 2 B C A 1 D 27、如图， AB ∥ CD，∠ 1=∠ 2，∠ B= ∠ 3，AC ∥DE，求证： AD ∥ BC。 3 2 28．已知： BC ＝DE，∠ B ＝∠ E，∠ C＝∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1＝∠ 2 B C E 第 18页共22页 29．如图，四边形 ABCD 中， AB ∥DC ，BE、CE 分别平分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD 上。求证： BC ＝AB ＋ DC。 30．已知： AB ＝ CD，∠ A ＝∠ D ，求证：∠ B ＝∠ C. 31．如图： DF＝ CE， AD ＝ BC ，∠ D ＝∠ C。求证：△ AED ≌△ BFC 。 32．如图： AE 、 BC 交于点 M ， F 点在 AM 上， BE ∥ CF， BE＝ CF。求证： AM 是△ ABC 的中线。 33． AB ＝ AC ，DB ＝ DC， F 是 AD 的延长线上的一点。 求证： BF＝ CF 34．如图： AB ＝ CD， AE＝ DF ， CE＝ FB。求证： AF ＝ DE 。 第 19页共22页 35．已知：如图所示， AB ＝ AD ，BC ＝ DC ， E、 F 分别是 DC 、 BC 的中点，求证： AE ＝ AF 。 36．如图，在四边形 ABCD 中， E 是 AC 上的一点，∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4， 求证 : ∠ 5＝∠ 6． 37．如图，已知 AC ⊥AB ，DB ⊥ AB ，AC ＝ BE，AE ＝ BD ，试猜想线段 CE 与 DE 的大小与位置关系，并证明你的结论 . 38．如图（ 13）△ ABC ≌△ EDC 。求证： BE=AD 。 39．如图： AD=BC ， DE ⊥ AC 于 E，BF ⊥AC 于 F，DE=BF 。求证：（ 1） AF=CE ，（ 2） AB ∥CD。 40．如图，已知 P 点是∠ AOB 平分线上一点， PC⊥OA ，PD ⊥OB，垂足为 C、 D， （ 1）∠ PCD= ∠ PDC 吗？ 为什么？ （ 2） OP 是 CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ 第 20页共22页 41．如图， AD 为△ ABC 的高，∠ B=2 ∠ C 用轴对称图形证明： CD=AB+BD 。 42．如图， P 是∠ BAC 平分线 AD 上一点， P 与 A 不重合， AC>AB 。求证： PC-PB 44．如图， AD 、 BE 分别是等边△ ABC 中 BC、 AC 上的高． M 、 N 分别在 AD 、 BE 的延长线上，∠ CBM ＝∠ ACN ．求证： AM ＝ BN ． 45．如图， 点 G 在 CA 的延长线上， AF ＝ AG，∠ADC ＝∠ GEC ．求 平分∠ BAC ． 46．已知：，等腰直角三角形 ABC 中，∠ A ＝ 90°， D 为 BC 中点， 别为 AB 、 AC 上的点，且满足 EA ＝CF．求证： DE＝ DF ． 证 ： AD E、 F 分 第 21页共22页 47．如图，已知 P 点是∠ AOB 平分线上一点， PC⊥ OA ， PD⊥ OB，垂足分别为 C， D. （1）∠ PCD= ∠ PDC 吗？ 为什么？ （2） OP 是 CD 的垂直平分线吗？ 为什么？ 48．等边△ ABC 中，点 P 在△ ABC 内，点 Q 在△ ABC 外，且∠ ABP= ∠ ACQ ， BP=CQ ，问 △APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论． 49．如图，在等腰△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的高，点 且 EF∥BC ． （ 1）试说明△ AEF 是等腰三角形； （ 2）试比较 DE 与 DF 的大小关系，并说明理由 . E、F 分别是边 AB 、AC 上的点， 50． .如图，△ ABC 中， D、 E 分别是 AC 、 AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O.给出下列四个条件： ∠ EBD= ∠ DCO ；②∠ BEO= ∠ CDO ；③ BE=CD ；④ OB ＝ OC. （1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ （2）选择第（ 1）小题中的一种情形，证明△ ABC 是等腰三角形； ABC 是等腰三角形。 ① 第 22页共22页
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