2.7 函数与方程
挖命题 【考情探究】
5年考情
预测热
考点
内容解读
考题示例 考向 关联考点 函数的零点与方程
分段函数、解不等
2018浙江,15
函数的
的根
式组
了解函数零点的概念.掌握
零点与
函数的零点与方程
连续函数在某个区间上存
2017浙江,20
函数的最值
方程的
的根 在零点的判断方法.
根
2016浙江文,12 函数的零点与方程
2015浙江文,8
的根
分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题. 2.预计函数与方程的有关问题可能在2020年的高考中出现,复习时应重视.
破考点 【考点集训】
考点 函数的零点与方程的根
1.(2018浙江镇海中学5月模拟,9)已知函数f(x)=则方程f(f(x))-2=0
的实根个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B
2.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为 .
答案 3
3.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=
若关于x的方程f(x)=ax恰
有2个互异的实数解,则a的取值范围是 . 答案 (4,8)
1
度 ★★
☆
2
炼技法 【方法集训】
方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法
1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数f(x)=ln x-x|x-e|的零点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C
2.(2017浙江镇海中学模拟卷三,9)已知x1,x2为函数f(x)=(x+ax+b)·e+c的极值点(其中a,b,c为实常数).若f(x1)=x1方法2 函数零点的应用(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是 .
2
2
2
x
C.3 D.4
答案
过专题 【五年高考】
统一命题、省(区、市)卷题组
考点 函数的零点与方程的根 1.(2018课标全国Ⅰ理,9,5分)已知函数f(x)=点,则a的取值范围是( ) A.[-1,0)
B.[0,+∞)
g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零
C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 答案 C
2.(2017课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数f(x)=x-2x+a(e+eA.- B. C. D.1 答案 C
2
x-1
-x+1
)有唯一零点,则a=( )
3
3.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( ) A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞) C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞) 答案 B
4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=
函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数
2
y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为 ;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
答案 ①-1 ②∪[2,+∞)
6.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4coscos为 . 答案 2
2
-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数
教师专用题组
考点 函数的零点与方程的根
1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x 答案 A
D.y=x+1
2
4
2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,
f(x)=答案 8
其中集合D=,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是 .
3.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=根的个数为 . 答案 4
则方程|f(x)+g(x)|=1实
4.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=点,则a的取值范围是 . 答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零
5.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为 . 答案 (0,1)∪(9,+∞)
6.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1). (1)设a=2,b=. ①求方程f(x)=2的根;
②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值; (2)若01,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值. 解析 (1)因为a=2,b=,所以f(x)=2+2. ①方程f(x)=2,即2+2=2,亦即(2)-2×2+1=0, 所以(2-1)=0,于是2=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=2+2=(2+2)-2=(f(x))-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,
2x
-2x
x
-x2
2
x
2
xx
-x
x2
x
x
-x
x
x
2
所以m≤对于x∈R恒成立.
而=f(x)+≥2=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.
0
0
(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a+b-2=0,
5
所以0是函数g(x)的唯一零点.
因为g'(x)=aln a+bln b,又由01知ln a<0,ln b>0,x
x
所以g'(x)=0有唯一解x0=lo
x
x
.
x
2
x
2
令h(x)=g'(x),则h'(x)=(aln a+bln b)'=a(ln a)+b(ln b), 从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)g'(x0)=0. 因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数. 下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g-2=0,且函数g(x)在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和loga2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾. 因此,x0=0. 于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.
评析 本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.
【三年模拟】
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数f(x)=ax+bx- (a>0)有两个不同的零点x1,x2,则( ) A.x1+x2<0,x1x2<0 B.x1+x2>0,x1x2>0 C.x1+x2<0,x1x2>0 D.x1+x2>0,x1x2<0 答案 A
2
6
2.(2019届浙江高考模拟试卷(四),7)已知函数f(x)=ax+1,g(x)=图象只有一个交点,则实数a的取值范围为( )
若两个函数的
A. B.
C.∪ D.
答案 C
3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),4)a=1是方程x-cos x+|a|=0有唯一根的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案 A
4.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),7)已知实数a∈(1,),则方程同解的个数为( ) A.0 B.2 C.3 D.4 答案 D
5.(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),9)已知函数f(x)=
设方程+|x|=的不
2
f(x)=t(t∈R)的四个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是( ) A.x1+x2+x3+x4=40 B.x1x2=1 C.x3x4=361
D.x3x4-20(x3+x4)+399=0 答案 C
6.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,8)已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( ) A. B.1 C. D.2 答案 C
7
7.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( ) A.都大于1 B.都小于1
C.至少有一个大于1 D.至少有一个小于1 答案 D
二、填空题(单空题4分,多空题6分,共8分)
8.(2019届浙江高考模拟试卷(四),17)函数f(x)=x+ax+b(a,b∈R)在(0,2)上有两个零点x1,x2,且|x1-x2|≥1,则a+a-3b的取值范围为 .
2
2
2
答案
+
2
9.(2018浙江诸暨高三5月适应性考试,17)已知a,b,c∈R(a>c),关于x的方程|x-ax+b|=cx恰有三个不等实根,且函数f(x)=|x-ax+b|+cx的最小值是c,则= . 答案 5
2
2
8