G1SXZH023

学 科

数学

年 级

高一

编稿老师

沈凯

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

方程的根与函数的零点

二. 重点、难点：

1. 方程f(x)0，有根x0函数yf(x)的图象交x轴于（x0,0） 2. yf(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)0存在c(a,b)使f(c)0 3. 二分法求方程的近似解

【典型例题】

2[例1] 已知关于x的方程x(a1)x2a0，分别在下列条件下求实数a的取值范围。

（1）一个根大于1，一个根小于1

（2）一个根大于1，一个根小于1 （3）两根均在（1,1）内 解：设f(x)x(a1)x2a

（1）f(1)0 ∴ 1(a1)2a0 ∴ a22 3a0f(1)02a（2） 2f(1)03a3(,322][322,)(a1)28a0f(1)0(0,)（3）f(1)0 2(,)a1对称轴3(1,1)2(3,1)∴ a(0,322]

[例2] 对实数abc，求证方程

111一个大于b，0总有两个实数根，

xaxbxc另一个小于b。

解：去分母(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)0

设f(x)(xb)(xc)(xa)(xc)(xa)(xb)

a,b,c不是f(x)0的根 ∴ f(x)0与原方程同解 ∵ f(b)(ba)(bc)0

∴ 方程必有两根，一根大于b，一根小于b

2[例3] 求m的范围使得关于x的方程x2(m1)x62m0

（1）有两个实根、且满足014

1

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（2）至少有一个正根

解：设f(x)x2(m1)x62m

2m3f(0)0575（1）f(1)0mm

454f(4)07m500（2）① 两个正根x1x20 f(0)0

xx0对称轴0124(m1)24(62m)0∴ 62m03m1

2(m1)0② 一正一零

62m0 ∴ m3 2(m1)0③ 一正一负

62m0 m3 ∴ m(,1]

xxx[例4] 解方程345

解：x2时，345 ()()1

令yf(x)()()上↓ f(2)1 ∴ 方程有且仅有一个实根

[例5] 已知f(x)(xa)(xb)2，m,n是方程f(x)0的两根，且ab，mn，则实数a,b,m,n的大小关系是 。

解：设g(x)(xa)(xb) g(x)0两根为a,b ∴ mabn

22235x45x35x45x

2[例6] f(x)3ax2bxc，若abc0，f(0)0，f(1)0

2

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（1）求证：a0且2b1 a（2）求证：方程f(x)0在（0，1）内有两个实根 解：f(0)c0 f(1)3a2bc0

abc0代入3ac2(ac)0 ∴ ac0 ∴ ac0 ∴ b0

babc023a2bab02aba 3a2bc0ab0abc0b1ab∴ (2,1)

ab3acb22yf(x)3ax2bxc顶点(,)

3a3abb12∵ (2,1) ∴ (,)(0,1)

a3a333acb2(ac)23ac(ac)2ac0 3a3a3af(0)0 f(1)0

∴ f(x)0在（0，1）内有两个不等实根

[例7] 方程x3x2k(xm)，k,mR，对任意kR，方程均有根，求m的取值范围。

解：y|x3x2| yk(xm)过点(m,0) 无论k为何值均有交点 ∴ m[1,2]

22

[例8] aR，试讨论方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数。

(x1)(3x)axx25x3ax1解：

3x0ax02研究yx5x3与ya的交点 x(1,3)

3

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如图

（1）a(1,3]{（2）a(3,13}时一解 4

13)时两解 413（3）a(,1](,)时无解

4

x2[例9] 方程2x的解的个数。

解：3解 令f(x)2x f(4)0

x2f(0)0 ∴ (,0)一解 f(2)0 ∴ 2为一解 f(4)0 ∴ 4为一解

3[例10] 用二分法求方程2x3x30的一个近似解精确到0.1

解：设f(x)2x3x3，经计算f(0)3 f(1)2 ∴ 在（0，1）内有解 ∴ f()1.25

3123 5)0.6367187f()0.09375 f(0.6254f(0.6875)0.287597656 0.750.68750.06250.1

∴ 解在（0.6875，0.75）内，解为0.7

【模拟试题】

4

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1. 关于x的方程x2ax20至少有一个小于1的实根，求实数a的取值范围。

43a0有实根。 2. a为何值时关于x的方程，93. 对于函数f(x)，若存在x0R，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已

知函数f(x)ax(b1)x(b1)（a0）

（1）当a1,b2，求f(x)的不动点

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异不动点，求a的范围。 4. abcd，t1

求证：关于t的方程(xa)(xc)t(xb)(xd)0有两个不等实根。 5. 方程x2(2a)xa210的两根在[0,2]上，求实数a的取值集合。 6. aR讨论方程x4a1的解的个数。

2x2x2212

5

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【试题答案】

1.

解：（1）一根小于1，一个大于1（2）一根小于1，一根等于10a3

f(1)0f(1)0a3

对称轴10（3）两根均小于1f(1)022a3

对称轴1∴ a22

2.

|x2|t(0,1] 解：令3原式t4ta0 在(0,1]内有根

2a(t2)24 ∴ a[3,0)

3.

解：（1）f(x)xx3x x01或x03 （2）f(x)x，即axbx(b1)0

221b24a(b1)b24ab4a0 bR 10恒成立 216a216a0 ∴ a(0,1)

4.

解：令f(x)(xa)(xc)t(xb)(xd)

(1t)x(btdtac)x(acbd)t （1）t1，1t0，开口向上

f(b)(ba)(bc)0 ∴ 方程有两个不等实根 （2）t1，1t0，开口向下

f(c)t(cb)(cd)0 ∴ 方程有两个不等实根 5.

21(2a)24(a21)0212a1722 解：0对称轴 ∴ a{x|1x}

282f(0)a10f(2)42(12a)a21026.

解：a(,1)时无解，a1时两解，a(1,3)时四解，a3时三解，a3时两解

6

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年级

高一 学科 数学 内容标题 函数的零点 7

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