2015高考全国卷1理科数学试题及答案解析_[版]9

2014年普通高等学校招生全国统一考试

全国课标1理科数学

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上.

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用

橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的一项。

1. 已知集合A={x|x2x30}，B={x|－2≤x＜2＝，则AB=

2A.[-2,-1] B.[-1,2） C.[-1,1] D.[1,2）

(1i)32. =

(1i)2A.1i B.1i C.1i D.1i

3. 设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是

A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数

C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数

4. 已知F是双曲线C：xmy3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为

22A.3 B.3 C.3m D.3m

5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的

概率

1357A. B. C. D.

88886. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边

为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]上的图像大致为

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7. 执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A.

2016715 B. C. D. 35288. 设(0,1sin，则 )，(0,)，且tancos22A.32 B.2 D.22

C.39. 不等式组22

xy1的解集记为D.有下面四个命题：

x2y4p1：(x,y)D,x2y2，p2：(x,y)D,x2y2, P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y1.

其中真命题是

A.p2，P3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，P3

10. 已知抛物线C：y8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，

若FP4FQ，则|QF|=

275A. B. C.3 D.2

2211. 已知函数f(x)=ax3x1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，

则a的取值范围为

32A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，

-1）

12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，

则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

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A.62 B.42 C.6 D.4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13. (xy)(xy)的展开式中xy的系数为 .(用数字填写答案)

14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去

过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为 .

15. 已知A，B，C是圆O上的三点，若AO8221(ABAC)，则AB与AC的夹角为 . 216. 已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan1Sn1，其中为

常数.

（Ⅰ）证明：an2an；

（Ⅱ）是否存在，使得{an}为等差数列？并说明理由.

18. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测

量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值

作代表）；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近

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似为样本平均数x，近似为样本方差s2. （i）利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于

区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.

附：150≈12.2.

若Z～N(,)，则P(Z)=0.6826，P(2Z2)=0.9544. 19. （本小题满分12分）如图三棱锥ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.

（Ⅰ） 证明：ACAB1；

o（Ⅱ）若ACAB1，CBB160，

22AB=Bc，求二面角AA1B1C1的余弦值.

x2y2320.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：221(ab0)的离心率为，F是

2ab椭圆的焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

23，O为坐标原点. 3bex121.（本小题满分12分）设函数f(x0aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的切线为

xxye(x1)2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)1.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD

是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：

△ADE为等边三角形.

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x2tx2y21，23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C：直线l：49y22t（t为参数）.

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若a0,b0，且

（Ⅰ）求ab的最小值；

（Ⅱ）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由.

33o11ab. ab 专业技术参考资料

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参

一、选择题

1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B 二、填空题

13. -20 14. A 15.

 16. 3 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分12分) 解：

（Ⅰ）由题设，anan1Sn1,an1an2Sn11

两式相减得an1(an2an)an1，而an10，an2an （Ⅱ）a1a2S11a11，而a11，解得 a21，又{an}

令2a2a1a3，解得4。此时a11,a23,a35,an2an4

{an}是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在4，使得{an}为等差数列。 18.（本小题满分12分） 解：

（Ⅰ）x1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200

（Ⅱ）

19. （本小题满分12分）

解：

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20.（本小题满分12分）

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21.（本小题满分12分）

22.（本小题满分10分）

（1）证明：由题设得，A，B，C，D四点共圆，所以，DCBE

又

CBCE，CBEE

所以DE

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23.（本小题满分10分）

24. （本小题满分10分）

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