2014年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 下列曲线有渐近线的是

(A) y  x sin x (C) y  x  sin

(B) y  x2  sin x (D) y  x2  sin

(

)

11

x

【答案】(C)

x

11

x  sin sin

x  lim1 lim x  1 0  1 ，又 【解析】关于C 选项： lim

xxx x x

1 11

lim[x  sin  x]  limsin  0 ，所以 y  x  sin 存在斜渐近线 y  x . xx x x x

故选(C).

(2) 设函数 f (x) 具有二阶导数， g(x)  f (0)(1 x)  f (1)x ，则在区间[0,1] 上 (

)

(A) 当 f (x)  0 时， f (x)  g(x)

(B) 当 f (x)  0 时， f (x)  g(x) (D) 当 f (x)  0 时， f (x)  g(x)

(C) 当 f (x)  0 时， f (x)  g(x)

【答案】(D)

【解析】令 F(x)  g(x)  f (x)  f (0)(1 x)  f (1)x  f (x) ，则

F(0)  F(1)  0 ,

F(x)   f (0)  f (1)  f (x) , F (x)  f (x) .

若 f (x)  0 ，则 F(x)  0 ， F (x) 在[0,1] 上为凸的.

又 F(0)  F(1)  0 ，所以当 x [0,1] 时， F(x)  0 ，从而 g(x)  f (x) .

故选(D).

1 1 y 

1 y2 1x2

(3) 设 f (x, y) 是连续函数，则dy

0

0

f (x, y)dx  f (x, y)dy

1

( )

1 x1 0

(A)

dx0 f (x, y)dy  1 dx0

(B)

 dx 

0 0

1 1x

f (x, y)dy  1 dx1

0

0 

1x2

f (x, y)dy



1

(C)

 d 2 0

cos sin0

f (r cos , r sin )dr   d f (r cos , r sin )dr

2

0

(D)





2 0

cos sinf (r cos , r sin )rdr  d f (r cos , r sin )rdr d 0

0

1

 

2

1

【答案】(D) 【解析】



f (x, y)dx  1 dx0

0

1

1x2

1

1x

 dy 

0

1 1 y



1 y2

f (x, y)dy f (x, y)dy  0

dx 0



2

1

2 d cos sinf (r cos , r sin )rdr  d f (r cos , r sin )rdr .  0

0 0



故选(D).

(4) 若 π (x  a cos x  b1 sin x)2 dx  min 1

-π a,bR

 (x  a cos x  b sin x) dx 

π2-π

，则

a1 cos x  b1 sin x  (A) 2sin x 【答案】(A) 【解析】

( (B) 2cos x (C) 2 sin x

)

(D) 2 cos x

222(x  b sin x)  2a cos x(x  b sin x)  ax cos (x  a cos x  b sin x)2 dx     xdx

 (x2  2bx sin x  b2 sin2 x  a2 cos2 x)dx



 1  2  4(a2  b2 )   4b  2   3

2 2 2 3

2

  (a2  b2  4b)   3

3

2 322  a  (b  2)  4  3 

当a  0,b  2 时，积分最小. 故选(A).

(b2 sin2x  a2 cos2 x  2bx sin x)dx  xdx  2 

0

2



2

0 a a 0 (5) 行列式 0 c

c 0

(A) (ad  bc)2

b 0 d 0 0 b  0 d (B) (ad  bc)2

(C) a2d 2  b2c2

( ) (D) b2c2  a2d 2

【答案】(B)

【解析】由行列式的展开定理展开第一列

0 a 0 c

a 0 c 0 b 0 d 0 0 a b 0 a b 0 b  a c d 0  c 0 0 b 0 0 0 d c d 0 d  ad(ad  bc)  bc(ad  bc)  (ad  bc)2 .

故选(B).

(6) 设 a1, a2 , a3 均为三维向量，则对任意常数 k, l ,向量组 a1  ka3 , a2  la3 线性无关是向量组

B  1 2 3  线性无关的

(

(B)充分非必要条件

(D)既非充分也非必要条件

)

(A) 必要非充分条件 (C)充分必要条件 【答案】(A)

【解析】 k

1

3

 l  

2

3

1



2

1 0  

0 1 . 3   k l  

) 记 A  1  k3

2  l3  ， B  1 2 3  ， A . 若1,2,3 线性无关，则

r(A)  r(BC)  r(C)  2，故 P(A  B)  0.3线性无关.

P(B  A)  举反例. 令3  0 ，则1,2 线性无关，但此时1,2,3 却线性相关.

综上所述，对任意常数Q  40  2 p ，向量 p 线性无关是向量 D 线性无关的必要非充分条件. 故选(A).

3

(7) 设随机事件 A 与 B 相互，且 P(B)  0.5 ， P(A  B)  0.3，则 P(B  A)  (A) 0.1 【答案】(B)

( )

(B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4

【解析】 已知a ， A与 f  x , x , x   x 2  x  2ax x  4x x ， a ，

1 2 3 1 2 1 3 2 3

P(A  B)  P(A)  P(AB)  P(A)  P(A)P(B)

 P(A)  0.5P(A)  0.5P(A)  0.3，

则

P(A )0 .，

则 P(B  A)  P(B)  P(AB)  P(B)  P(A)P(B)  0.5  0.50.6  0.5  0.3  0.2 .

故选(B).

(8) 设连续性随机变量 X1 与 X 2 相互，且方差均存在， X1 与 X 2 的概率密度分别为 f1 (x) 与

1 1 f2 (x) ，随机变量Y1 的概率密度为 fY ( y)  [ f1 ( y)  f2 ( y)]，随机变量Y2  ( X1  X 2 ) ，则 1

2 2

(

(B) EY1  EY2 ， DY1  DY2

)

(A) EY1  EY2 ， DY1  DY2 (C) EY1  EY2 ， DY1  DY2

【答案】(D)

【解析】 用特殊值法. 不妨设 X1, X2

DY1  DY2 (D) EY1  EY2 ，

N (0,1) ，相互.

y2 y2 1 1 

  1 1 e 2  e 2 )  e 2 ， f ( y) ( Y1 N (0,1) . Y 1

2 2221 1 1 1 Y2  ( X1  X 2 ) ， E(Y2 )  (E( X1 )  E( X 2 ))  0, D(Y2 )  (D( X1)  D( X 2 ))  .

2 2 4 2

1 E(Y )  E(Y )  0, D(Y )  1  D(Y )  .

1 2 1 2

2 y2

故选(D).

二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 曲面 z  x2 (1 sin y)  y2 (1 sin x) 在点(1, 0,1) 处的切平面方程为 .

【答案】2x  y  z  1

4

【解析】由于 z  x2 (1 sin y)  y2 (1 sin x) ，所以

z  2x(1 sin y)  cos x  y2 ， z (1, 0)  2 ；

x x

z  x2 cos y  2y(1 sin x) ， z (1, 0)  1.

y y

所以，曲面在点(1, 0,1) 处的法向量为n {2, 1, 1}.

故切平面方程为2(x 1)  (1)( y  0) (z 1)  0 ，即

2x  y  z  1.

(10) 设 f (x) 是周期为4 的可导奇函数，且 f (x)  2(x 1), x [0, 2]，则 f (7) . 【答案】1

【解析】由于 f (x)  2(x 1) ， x [0, 2]，所以 f (x)  (x 1)2  C ， x [0, 2].

又 f (x) 为奇函数， f (0)  0 ，代入表达式得C  1，故

f (x)  (x 1)2 1， x [0, 2].

f (x) 是以4 为周期的奇函数，故

f (7)  f (1 8)  f (1)   f (1)  [(11)2 1]  1.

(11) 微分方程 xy y(ln x ln y)  0满足条件 y(1)  e3 的解为 y .

【答案】 y  xe2x1(x  0)

【解析】 xy y(ln x ln y)  0  y  ln( ) .

令u  ，则 y  x u ， y  xu  u ，代入原方程得

y y y

x x

x

u(ln u 1)xu u  u ln u  u 

x

du dx ，两边积分可得



u(ln u 1) x

分离变量得，

ln | ln u 1| ln x  C ，即ln u 1  Cx .

5

y y

故ln 1  Cx . 代入初值条件 y(1)  e3 ，可得C  2 ，即ln  2x 1.

x x

由上，方程的解为 y  xe2x1,(x  0) .

(12) 设 L 是柱面 x2  y2  1与平面 y  z  0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，

则曲线积分 zdx  ydz 

L

.

【答案】【解析】由斯托克斯公式，得





dydz dzdx dxdy x y z   dydz  dzdx L zdx  ydz  

z 0 y

  dydz  dzdx   ，

Dxy

其中 Dxy {(x, y) | x  y 2 1}. 2

x , x , x   x 2  x2  2ax x  4x x 的负惯性指数是 1 ，则 a 的取值范围 (13) 设二次型 f 

.

【答案】2, 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3

【解析】配方法： f  x , x , x    x  ax  a2x2  x  2x  4x2

1 2 3 1 3 3 2 3 2 2

3

由于二次型负惯性指数为 1，所以4  a2  0 ，故2  a  2 .

 2x

,  x  2 , 2

其中 是未知参数， X1, X2 , , Xn 为 x;   (14) 设总体 X 的概率密度为 f  3

其他, 0,

来自总体 X 的简单样本，若 E(c

 X 2 )   2 ，则c .

i1

i

n

2

【答案】

5n 2

【解析】 E( X ) 



 x2 f (x;



2 x2  2x dx  )dx 

3 2

6

2 1 4 25 2   x ， 23 4 2 n5n 2 2 2 2

E[c Xi ]  ncE( X )   c   ，

2 i1 2

 c  . 5n

三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明．．．过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)







  1  2

 et 1  t  dt 1 t   

求极限 lim . 1 x2

x ln 1 

 x 

x

x 1  1 

dt dt 2t 2t

t (e1)  t t (e1)  t 1 1  lim 【解析】 lim 1 12xxx ln(1 ) x2 

x x

x





 lim[x (e 1)  x]

2

1

x x

1 t x

(16)(本题满分 10 分)

t

1 te1 e 1 t  lim  lim  .  lim

t 0 2t t 0 2t t 0 2 t2

t

设函数 y  f  x 由方程 y3  xy2  x2 y  6  0 确定，求 f  x 的极值. 【解析】对方程两边直接求导：

3y2 y  y2  2xyy x2 y 2xy  0

令 x1 为极值点，则由极值必要性知： y(x1)  0 ，代入①式得：

①

y2 (x )  2x y1 1 (x 1 )  0 .

即 y(x1 )  0 或 y(x1 )  2x1 . 将其代入原方程知： y(x1 )  0 （舍去），即 y(x1 )  2x1 . 代 入，有

8x3  4x3  2x3  6 ， x  1. 即 y(1)  2 ， y(1)  0 .

1 1 1 1

7

对①式两边再求导：

6y( y)2  3y2 y   2yy 2x( y)2  2xyy   2yy 2xy x2 y   2y  2xy  0 .

将 y(1)  2 ， y(1)  0 代入得： y(1)   0 .

4

9

 y  f (x) 在 x  1处取极小值， y  f (1)  2 .

(17)(本题满分 10 分)

2 z 2 z x

满足 2  2  (4z  e x cos y)e2x 若 设函数 f u  具有二阶连续导数， z  f e cos y xyf 0  0, f 0  0 ，求 f u  的表达式.

【解析】

2 x

 x  x

cos y)e cos y, 2 f (e cos y)e cos y  f (e cos y)e cos y 因为 f (e x

x

 2z

  f (ex cos y)ex sin y,  z  f (ex cos y)e2x cos2 y  f (ex cos y)ex cos y y y2

x

z

x

2 z

2 x 所以， f  (ex cos y)e2x  4 f (ex cos y)  ex cos ye2x



f  (u)  4 f (u)  u

u

f (u)  C e2u  C e2u 

1 2

4 上述方程的通解为

由 f 0  0, f 0  0 得

C1  C2  0 1

2C - 2C 

2  1 4 1 1

解得， C1  , C2  

16 16

故， f (u) 1 e2u - 1 C e2u  u

16 16 2 4

(18)(本题满分 10 分)

8

设 为曲面 z  x2  y2 (z  1) 的上侧，计算曲面积分

I  (x 1)3 dydz  ( y 1)3 dzdx  (z 1)dxdy .



【解析】 非闭，补 z  1，被 z  x2  y2 所截有限部分下侧，由 Gauss 公式，有 1：平面



+1

3 ( y 1)3 dzdx  (z 1)dxdy (x 1) dydz 

22  3(x 1)  3( y 1) 1 dV



 3(x2  y2 )dV  6 xdV  6 ydV  7 dV









 和1 所围立体为 ，  关于 yoz 面和 zox 面对称，则 xdV   ydV  0



 (x2  y2 )dV 

 

x2  y2 1 2



dxdy

1

1

2

dz

 y2

x

 d r2 (1 r2 )rdr

1 41 61 1 )  1(r  r  2) 0  2 (  4 6 6 6 4

11 dz dV   0 dxdy  0  zdz  2  x  y z

 

 3  7     7   46 2 2 2

2

2

 0 

0

 

1

 41

又

 (z 1)dxdy  (11)dxdy  0

1

1

x2  y2 1

 I 

 

  11 n

n

   41

(19)(本题满分 10 分)

n

设数列a ,b 满足0  a  ， 0  b  ， cos a  a

 

n n 2

n

2

 cosb ，且级数b 收敛.



n

n n1

(I) 证明： lim a  0 . n

n

(II) 证明：级数

 

an

收敛.

n1 n

b

9

 【解析】(I)

bn1 n

n 收敛

lim b  0 n

n

a  cos a  cos b  2sin

n

n

an  bn

2

sin

an  bn

 0 2

sin

an  bn

 0 2

 an  bn

bn  ， 又    an     0

4 4 2 4 2

即： an  bn

又 0  a  b n , lim b n 0 n

n

lim a  0 n

n

(II)证明：由(I) a  2sin

n

an  bn

2

sin an  bn

2

a ba b

2sin n n sin n n a2  n 2 bn bn

an  bn bn  an 2 2 2 2 b b ab

 n2 2  n n  n bn 2bn 2bn 2   an

b n

又 b 收敛  收敛, 收敛  n

n1 2 n1 bn n1

(20)(本题满分 11 分)

1  2 3  4  

设矩阵 A  0 1 1 1  ， E 为三阶单位矩阵.

 1 2 0  3 

(I) 求方程组 Ax  0 的一个基础解系； (II) 求满足 AB  E 的所有矩阵 B .

【解析】

1 2 3 4 1 

0 1 1 1 0  A E   1 2 0 3 0 

1 2 3 4 1 

 0 1 1 1 0  0 0 1 3 1  0 0  1 2 3 4 1 0 0 1 0    0 1 1 1 0 1 0 

  0 1   0 4 3 1 1 0 1 

  0 0   1 0 0 1 2 6 1

 

1 0  0 1 0 2 1 3 1  ,

  4 1   0 0 1 3 1 4 1 

  

T

(I) Ax  0 的基础解系为  1, 2,3,1

10

(II) e  1, 0, 0, e  0,1, 0, e  0, 0,11 2 3

T

1 1 T T T

T T

Ax  e 的通解为 x  k   2, 1, 1, 0 2  k , 1 2k , 1 3k , k 1 1 1 1

T

2 2 2 2 2 T

Ax  e 的通解为 x  k   6, 3, 4, 0 6  k , 3  2k , 4  3k , k 2

Ax  e 的通解为 x  k   1,1,1, 0 1 k ,1 2k ,1 3k , k 3 3 3 3 3 3

T

1 k3  2  k1 6  k2 

1 2k  3  2k 1 2k  B  1 2 3  1 3k  4  3k 1 3k 

1 2 3

 

k2 k3  k1

(21)(本题满分 11 分)

（ k , k , k 为任意常数）

1 2 3

1 1

1 1  证明n 阶矩阵 

1 1  10  

10  与   1 0 0 1 

0 2 

 相似. 0 n 

1 ，

11   2  【解析】已知 A  1 1 ， B =  0 0       1 n   

则 A 的特征值为n ， 0 ( n 1重).

A 属于  n 的特征向量为(1,1, ,1)T ； r( A)  1，故 Ax  0 基础解系有 n 1个线性无关

的解向量，即 A 属于   0 有 n 1 个线性无关的特征向量， 故 A 相似于对角阵

 n  0 

 .  = 

  

0

 

B 的特征值为 n ， 0 ( n 1重)，同理 B 属于  0 有 n 1个线性无关的特征向量，故 B 相似于对角阵 .

由相似关系的传递性， A 相似于 B .

(22)(本题满分 11 分)

设随机变量 X 的概率分布为 PX  1  PX  2 

1

, 在给定 X  i 的条件下，随机变量 2

Y 服从均匀分布U 0,i,(i  1, 2).

11

（I） 求Y 的分布函数 FY （II） 求 EY .

 y ；

【解析】（I）设Y 的分布函数为 FY (y) ，则

FY ( y)  PY  y  PX  1PY  y | X  1 PX  2PY  y | X  2

1 1  PY  y | X  1  PY  y | X  2 2 2

当 y  0 时， FY ( y)  0 ；

1 y 3y

当0  y  1时， FY ( y)  (y )  ；

2 2 4 1 y

当1  y  2 时， FY ( y)  (1 )；

2 2

当 y  2 时， FY ( y)  1. 所以Y 的分布函数为

(II) Y 的概率密度为

 y  0  30,y  0  y  1  4, F ( y)  Y

 (1y ), 1  y  2 1  2 2  1, y  2 

 3

4 , 0  y  1,  1 f (y)  , 1  y  2, Y

4

 0, 其他. 

E(Y )=1fY ( y) d y  y dy  y dy  0 4 1 4 3 1 1 1 3 =    (4 1) 4 2 4 2 4



1

2

3(23)(本题满分 11 分)

12

x  

1 e ，x  0,

设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 F (x; )  其中  是 未 知 参 数 且 大 于

x  0, 0,

2

零. X1, X2 , , Xn 为来自总体 X 的简单随机样本.

（I） 求 E( X ) ， E( X 2 ) ； （II） （III） 求 的最大似然估计量n ；

是否存在实数a ，使得对任何  0 ，都有lim P   a    0 ？ n

n

 

x2  2x  e , x  0

【解析】 X 的概率密度为 f (x; )  F(x; )  0 , 其它 





（I） E( X ) 





xf (x; )dx  0

x2

 

2x

x e dx

x2  



  xde

0



 [xe

x2



0

e dx]

 0

 

x2

 

x2

  e dx 0

1

 22 2 E( X )  

2

  2

 x2 f (x;



 )dx  0



2 x  dx 2 2x xe

   x2de

0



x2

  [x2e

x2 

0



0

 

e  2xdx]

x2

  

2x e dx x2  0

 

13



 n 2ix  e , xi  0

（II）似然函数 L( )   f (x; )  i1 i1

0 , 其它 

n

xi2  当 xi  0(i  1,, n) 时， L(n

2x  i ) i e ，

n

x2

i1

2 x i

ln L( )  [ ln 2x  ln  ] i

i1





1 x 2d ln L( )   i  1 2    [ ] 2 [ x n ] 0 i 2 d i1 i1  

n

n 1

解得   xi 2

n i1

n

ˆ 1 n 2

所以， 的最大似然估计量为n   Xi

n i1

（III）依题意，问ˆ n 是否为 的一致估计量.

1 n 2 2 ˆ

E(n )  E(  Xi )  E( X )  n i1

1 1

D(ˆ )  D( X 2 )  [E( X 4 )  E2 ( X 2 )]

n

n n

E( X )  

4

 x4 f (x;



 )dx  x4 2x e dx 0 

x2      x4de

0



x2

  [x4e

x2 

0



x2

 

0

3

e  4xdx]

 40 



2

 x

x3e dx  2xde

0



2

x2   2[x2e

x2 0



  0

e 2xdx]

x2

14

xe dx  4 0

 x2



 22

  d ( x) 2 e 

x2

0

 2 2

1 2 2  2 ˆ   ] 

D(n )  [2n n ˆ lim D()  0 ˆ 为 的一致估计量 a  n

n

n

15