《管理运筹学》习题7解答

1.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从泊松（普阿松）分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6min。求：

（1）请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。 （2）修理店至少有一个顾客的概率。 （3）店内有3个顾客的概率。

（4）在店内顾客的平均数和平均逗留时间。若工人在修理店每逗留1小时平均丧失工作收入100元，修理服务费用正比于其服务率为每小时4元。假定顾客到达率不变，为使得店铺和顾客的总损耗费用最低，求该店的最优服务率和平均最低费用。 （5）平均等待修理（服务）时间。

（6）必须在店内消耗15min以上的概率。

（7）假设若店内已有3个顾客，那么后来的顾客即不再排队。这时排队系统的模型类型是什么？并求店内空闲的概率、在店内平均的顾客数、在店内平均逗留时间。

（8）若顾客平均到达率增加到每小时12人，仍为泊松流，平均修理时间不变。是否需要增加工人？求修理工为2人时店内有两个或更多顾客的概率。注：以上各问是无关联的。 解：λ=4人/小时，μ＝60/6=10人/小时，ρ＝λ/μ=0.4。 (1)此系统为M/M/1排队模型。 各状态间概率强度的转移图如下： λ=4 4 4 0 1 …… n-1 n n+1 …… μ＝10 10 10

状态概率的稳定方程，如下： -4P0+10P1=0

4Pn-1+10Pn+1-14Pn=0(n≥1)

(2)修理店至少有一个顾客的概率等于1-P0； ∵P0=1-ρ=1-0.4=0.6 ∴1-P0=1-0.6=0.4

33

(3)P3=ρ(1-ρ)=0.4(1-0.4)=0.0384

(4) 店内顾客的平均数Ls=λ/(μ-λ)=4/(10-4)=2/3（人）；

一个顾客的平均逗留时间：Ws=Ls/λ=2/3÷4=1/6（小时）＝10（分钟）； 系统单位时间总耗费T(μ)=100Lsw+4μ=100·4/(μ-4)+4μ

2*

令dT(μ)/dμ=-400/(μ-4)+4=0解得μ＝14(人/小时)；

*

此时，系统每小时平均总耗费最低，为T(μ)=100·4/(14-4)+4×4=56（元/小时） (5)平均等待修理（服务）时间Wq=Ws-1/μ=1/6-1/10=1/15(小时)＝4（分钟） (6)15分钟即1/4小时。

·)·

P(Ws>1/4)=1-P(Ws≤1/4)=1-F(Ws)=1-(1-e-(10-4)1/4)= e-(10-41/4=0.2231 (7)这是排队系统是M/M/1/N模型。

3+14

店内空闲的概率为p0=(1-ρ)/(1-ρ)=(1-0.4)/(1-0.4)=0.6158 店内平均顾客数为Ls=ρ/(1-ρ)-(3+1)ρ3+1/(1-ρ3+1)=0.4/(1-0.4)-(3+1)·0.43+1/(1-0.43+1)=0.5616(人)； 在店内平均逗留时间Ws=Ls/λe= Ls/[μ(1-P0)]=0.5616/[10(1-0.6158)]=0.1462(小时) (8)此时ρ=λ/μ=12/10=1.2。队列将越来越长，故要增加工人。

增加一个工人后，系统变为M/M/2排队系统。

c2c11k1c12121012P010.25k!c!c102!2101210k011P1=λ/μ×P0=12/10×0.25=0.3

则P｛n≥2｝=1-P0-P1=1-0.25-0.3＝0.45

2(天津大学考研试题). 工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10min，假设对每一工件的服务（加工）所需时间服从负指数分布，平均服务时间为8min。试求：

（1）请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。求出工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；

（2）若要求有90％的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30min，则工件的平均服务时间最多是多少？

（3）若每一件工件的服务分成两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4min。一个工件完成两个阶段的加工后，紧接着的工件才能进入加工。在这种情况下，工件在系统内的平均数是多少？

解：λ=60/10=6人/小时，μ＝60/8=7.5人/小时，ρ＝λ/μ=6/7.5=0.8 (1) 各状态间概率强度的转移图如下： λ=6 6 6 0 1 …… n-1 n n+1 …… μ＝7.5 7.5 7.5 状态概率的稳定方程，如下： -6P0+7.5P1=0

6Pn-1+7.5Pn+1-13.5Pn=0(n≥1)

工件在系统内等待服务的平均数Lq=ρλ/(μ-λ)=0.8×6/(7.5-6)=3.2(件) 工件在系统内平均逗留时间Ws=1/(μ-λ)=1/(7.5-6)=2/3(小时)＝40（分钟）

1/2≥90%得到工件的平均服务时间最多(2)30分钟即1/2小时。由F(Ws)=P(Ws≤1/2)= 1-e-(μ-6) ·

是1/μ≤0.09429(小时)≈5.66（分钟）。 (3)每个工件的加工时间服从2阶爱尔朗分布，即本系统为M/E2/1类型。1/μ=4/60+4/60=2/15

22

ρ=λ/μ=6×2/15=0.8；Var(T)=1/(k·μ)=1/2×(2/15)=2/225

∴工件在系统内的平均数是: 22222VarT0.86225 Ls0.83.221210.8

3.顾客以每小时4人的平均到达率到一个双人理发店理发，顾客到达过程为Poisson流。当顾客到达理发店时发现理发店已有2个顾客在理发，则该顾客就拒绝进入此店，并不再来。若理发店的理发时间服从负指数分布。请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。并求：

（1）若要保证在可能到达的顾客中至多有40%的顾客不进入理发店，则每个理发师必须以怎样的服务率进行服务？

（2）若μ＝2人/小时，则进入理发店的平均顾客数是多少？ （3）接第（1）问，顾客的平均逗留时间是多少？ 解：本题属于M/M/2/2/损失制排队系统模型。 各状态间概率强度的转移图如下： λ=4 λ=4 1 2 0 μ 2μ 状态概率的稳定方程，如下： -4P0+μP1=0

4P1+2μP2 –(4+μ)P1=0 4P1-2μP2=0

(1)服务台个数c=2,系统容量N＝2。

P01k02k!k1241242840%2或－（舍去）6

248

()2161由P2P042!2214222即每个理发师必须以每小时至少理发2人的服务率才能保证60%以上的顾客能随时得到理发。

(2) 由（1）计算可知，当μ＝2人/小时，则P2＝40%。

进入理发店的平均顾客数：Ls=λ/μ·（1-P2）=4/2·(1-40%)=1.2(人)

(3) 顾客平均逗留时间就是其接受理发服务的平均时间1/μ。1/μ=1/2＝0.5(小时) 4.某通讯系统有数个通讯通道，此系统只要以40％的概率保证所有的通道通畅，就可以认为处于正常的导通状态。假定每个通道畅通时间满足参数为1的负指数分布，一旦一个通道发生故障，则单位时间修理次数具有参数为4的负指数分布，且只能逐个进行修理（只有一个修理工）。请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。并求： （1）若要保证系统处于正常导通状态，则此系统至多只能设置多少个通讯通道？ （2）在正常导通状态下所有通道都发生故障的概率？发生故障通道的平均数？

（3）在正常导通状态下每个通道的平均损坏时间以及通道发生故障后等待修理的平均等待时间？

解：本题排队系统属于M/M/1/m/m类型 λ=1；μ＝4 ；ρ=λ/μ＝0.25 （1）P01m!1mi!4i0mi0.4 当m=3时，P0=0.4507>0.4；当m=4时，P0=0.3107<0.4。

故取m=3，即至多只能设置3个通道。

各状态间概率强度的转移图如下：

3λ=3 0 μ＝4

状态概率的稳定方程，如下： -3P0+4P1=0

2λ=2 1 4 2 λ=1 3 4 (3-n+1)Pn-1+4Pn+1=[(3-n)+4]Pn (n=1,2) P2-4P3=0

（2）在正常导通状态下所有通道都发生故障的概率：

3!1P3P00.093750.450700.0423

33!4发生故障通道的平均数：Lsm34(1P0)3(10.4507)0.8028(个) 1（3）在正常导通状态下

m131每个通道的平均损坏时

Ws0.3654（单位时间）间： (1P0)4(10.4507)1

通道发生故障后等待修理的平均等待时间：

11WqWs0.365440.1154（单位时间）

5.（选做题，华中科技大学考研试题）若系统｛N(t)，t≥0｝以平均到达率λ>0的最简单流

到达，且到达的顾客以概率α(0<α<1)允许进入排队。若以M(t)表示在长为t的时间区间内实际进入系统的顾客数。 （1）证明：

PMtmtm!met,t0,m0,1,2,;

（2）若λ＝5人/min, α=4/5,试问在t＝10 min内实际进入系统的平均顾客数。 解：（1）任给N(t)=n(n>0)的条件下，M(t)的条件分布为贝努利分布，所以，当0PMtmPMtm,NtnPNtnPMtmNtnnmnm有nmtnetn!mtn!emnm(1)m!(nm)!1m!mnmt1n(nm)!

1t1netm!n0t1ntmet,t0n!m!(2)依上式，每分钟实际进入的顾客为λα＝4人，因此10min内实际进入系统的平均顾客数为40人。

6.（选做题，上海理工大学考研试题）试证明M/M/1等待制排队系统的等待时间分布为

Wqt1e1tt0,1；并求其期望值E(Wq)。

证明：

设第n＋1个顾客到达时，系统已有n个顾客，这个顾客的等待时间就是这n个顾客全部服务时间之和，即Wn=T’1+T2+…+Tn。Ti(i=2,3,…,n)都服从参数为μ的负指数分布，根据负指数分布的无记忆性，T’1也服从同分布的负指数分布，它们之间相互，所以对于第n+1个顾客来说，Wn服从n阶爱尔朗分布（n≥1）。

Wn的概率密度函数为f(W|n+1)，表示在系统已有n个顾客时的条件概率密度。即

fWnn1n1e(n1)!

所以第n+1个顾客的等待时间Wq（n=0时，Wq=0）的概率密度：

wn1ewwn1wfWqP00PnfWnn111e(n1)!n1n1n1(n1)!n1ewew1ew 其中：1。Tt∴Wq(t)Pwt1edwec(待定常数） 0t 特殊值：t=0时，Wq(0)=P0=1-ρ。代入上式得-ρ+c=1-ρ,则c=1 故Wq(t)PTt1e可求出：

E(Wq)w1ewdwwewdwwew00t 其中：t0，1。0ewdw0we0