2018年江苏省盐城市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3.00分）（2018•永州）﹣2018的相反数是（ ） A．2018
B．﹣2018 C．
D．﹣
2．（3.00分）（2018•盐城）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3.00分）（2018•盐城）下列运算正确的是（ ） A．a2+a2=a4 B．a3÷a=a3 C．a2•a3=a5 D．（a2）4=a6
4．（3.00分）（2018•盐城）盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（ ） A．1.46×105
B．0.146×106 C．1.46×106
D．146×103
5．（3.00分）（2018•盐城）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3.00分）（2018•盐城）一组数据2，4，6，4，8的中位数为（ ） A．2
B．4
C．6
D．8
7．（3.00分）（2018•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．65°
8．（3.00分）（2018•盐城）已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A．﹣2 B．2
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上)
9．（3.00分）（2018•盐城）根据如图所示的车票信息，车票的价格为 元．
C．﹣4 D．4
10．（3.00分）（2018•盐城）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
11．（3.00分）（2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1= ．
12．（3.00分）（2018•盐城）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为
13．（3.00分）（2018•盐城）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2= ．
14．（3.00分）（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函
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数y=（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k= ．
15．（3.00分）（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为 cm（结果保留π）．
16．（3.00分）（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ= ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 17．（6.00分）（2018•盐城）计算：π0﹣（）﹣1+
．
18．（6.00分）（2018•盐城）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（8.00分）（2018•盐城）先化简，再求值：，其中x=+1．
20．（8.00分）（2018•盐城）端午节是我国传统佳节．小峰同学带了4个粽子（除
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粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦．
（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果； （2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．
21．（8.00分）（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
22．（10.00分）（2018•盐城）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与； B．家长和学生一起参与； C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数；
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（3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 23．（10.00分）（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24．（10.00分）（2018•盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t= 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
25．（10.00分）（2018•盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD． （1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC•AE．求证：BE为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长．
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26．（12.00分）（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF= ； （2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为 （用含α的表达式表示）．
的值；若不存在，请说
27．（14.00分）（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连
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接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标； （Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
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2018年江苏省盐城市中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3.00分）（2018•永州）﹣2018的相反数是（ ） A．2018
B．﹣2018 C．
D．﹣
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：﹣2018的相反数是2018． 故选：A．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3.00分）（2018•盐城）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，是中心对称图形． 故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
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3．（3.00分）（2018•盐城）下列运算正确的是（ ） A．a2+a2=a4 B．a3÷a=a3 C．a2•a3=a5 D．（a2）4=a6
【分析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故A错误； B、a3÷a=a2，故B错误； C、a2•a3=a5，故C正确； D、（a2）3=a8，故D错误． 故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3.00分）（2018•盐城）盐通铁路沿线水网密布，河渠纵横，将建设特大桥梁6座，桥梁的总长度约为146000米，将数据146000用科学记数法表示为（ ） A．1.46×105
B．0.146×106 C．1.46×106
D．146×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将146000用科学记数法表示为：1.46×105． 故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3.00分）（2018•盐城）如图是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所
示：故选：B．
．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
6．（3.00分）（2018•盐城）一组数据2，4，6，4，8的中位数为（ ） A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：一共5个数据，从小到大排列此数据为：2，4，4，6，8， 故这组数据的中位数是4． 故选：B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
7．（3.00分）（2018•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（ ）
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A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°， 故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半和半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
8．（3.00分）（2018•盐城）已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ） A．﹣2 B．2
C．﹣4 D．4
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x=1代入方程得1+k﹣3=0， 解得k=2． 故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上)
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9．（3.00分）（2018•盐城）根据如图所示的车票信息，车票的价格为 77.5 元．
【分析】根据图片得出价格即可．
【解答】解：根据如图所示的车票信息，车票的价格为77.5元， 故答案为：77.5．
【点评】本题考查了数字表示事件，能正确读出信息是解此题的关键，培养了学生的观察图形的能力．
10．（3.00分）（2018•盐城）要使分式
有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】分式有意义，则分母x﹣2≠0，由此易求x的取值范围． 【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
11．（3.00分）（2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1= （x﹣1）2 ． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x2﹣2x+1=（x﹣1）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．
12．（3.00分）（2018•盐城）一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为
有意义．
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【分析】首先确定在阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
【解答】解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份， ∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为， 故答案为：．
【点评】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13．（3.00分）（2018•盐城）将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1=40°，则∠2= 85° ．
【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案． 【解答】解：∵∠1=40°，∠4=45°， ∴∠3=∠1+∠4=85°， ∵矩形对边平行， ∴∠2=∠3=85°． 故答案为：85°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
14．（3.00分）（2018•盐城）如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函
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数y=（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k= 4 ．
【分析】设D（a，），利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B（2a，），则E（2a，即可．
【解答】解：设D（a，），
∵点D为矩形OABC的AB边的中点， ∴B（2a，）， ∴E（2a，
），
），然后利用三角形面积公式得到•a•（﹣
）=1，最后解方程
∵△BDE的面积为1， ∴•a•（﹣故答案为4．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
15．（3.00分）（2018•盐城）如图，图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径OA=2cm，∠AOB=120°．则图2的周长为
cm（结果保留π）． ）=1，解得k=4．
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【分析】先根据图1确定：图2的周长=2个【解答】解：由图1得：
的长+
的长=
的长，根据弧长公式可得结论． 的长
∵半径OA=2cm，∠AOB=120° 则图2的周长为：故答案为：
．
=
【点评】本题考查了弧长公式的计算，根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键．
16．（3.00分）（2018•盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=
或
．
【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；
【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴∴∴x=
=
， =， ，
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∴AQ=．
②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴∴=∴y=
．
或
．
=
， ，
综上所述，满足条件的AQ的值为
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 17．（6.00分）（2018•盐城）计算：π0﹣（）﹣1+
．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：π0﹣（）﹣1+=1﹣2+2 =1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、三次根式等考点的运算．
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18．（6.00分）（2018•盐城）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：3x﹣1≥2（x﹣1）， 3x﹣1≥2x﹣2， 3x﹣2x≥﹣2+1， x≥﹣1；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点评】此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解集．
19．（8.00分）（2018•盐城）先化简，再求值：【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：当x=原式==x﹣1 =
，其中x=+1．
+1时
•
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20．（8.00分）（2018•盐城）端午节是我国传统佳节．小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦．
（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果； （2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率．
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【分析】（1）根据题意可以用树状图表示出所有的可能结果；
（2）根据（1）中的树状图可以得到小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率． 【解答】解：（1）肉粽记为A、红枣粽子记为B、豆沙粽子记为C，由题意可得，
（2）由（1）可得，
小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是：
=，
即小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率是．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．
21．（8.00分）（2018•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 【解答】证明：（1）∵正方形ABCD， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中
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，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，四边形AECF是菱形． 理由：∵正方形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（10.00分）（2018•盐城）“安全教育平台”是中国教育学会为方便家长和学生参与安全知识活动、接受安全提醒的一种应用软件．某校为了了解家长和学生参与“防溺水教育”的情况，在本校学生中随机抽取部分学生作调查，把收集的数据分为以下4类情形： A．仅学生自己参与； B．家长和学生一起参与； C．仅家长自己参与； D．家长和学生都未参与．
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请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了 400 名学生；
（2）补全条形统计图，并在扇形统计图中计算C类所对应扇形的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数． 【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、C、D三个类别人数求得B的人数即可补全条形图，再用360°乘以C类别人数占被调查人数的比例可得；
（3）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为80÷20%=400人， 故答案为：400；
（2）B类别人数为400﹣（80+60+20）=240， 补全条形图如下：
C类所对应扇形的圆心角的度数为360°×
=54°；
（3）估计该校2000名学生中“家长和学生都未参与”的人数为2000×人．
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=100
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．
23．（10.00分）（2018•盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 26 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． 故答案为26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200， 整理，得x2﹣30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， 解得：x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
24．（10.00分）（2018•盐城）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两
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人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）根据图象信息，当t= 24 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 40 米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式．
【分析】（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，根据速度=路程÷时间可得甲的速度；
（2）由t=24分钟时甲乙两人相遇，可得甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，减去甲的速度得出乙的速度，再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标，用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标，再将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式．
【解答】解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟． 故答案为24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟， ∴乙的速度为100﹣40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟， 40×40=1600，
∴A点的坐标为（40，1600）．
设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b， ∵A（40，1600），B（60，2400），
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∴，解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=40x．
【点评】本题考查了一次函数的应用，路程、速度、时间的关系，用待定系数法确定函数的解析式，属于中考常考题型．读懂题目信息，从图象中获取有关信息是解题的关键．
25．（10.00分）（2018•盐城）如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD． （1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2=AC•AE．求证：BE为⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC=2，AC=4，求线段EF的长．
【分析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得； （2）由AC=AD知AB2=AD•AE，即∠ABE=∠ADB=90°，从而得证； （3）由
=
知DE=1、BE=
，证△FBE∽△FAB得
=
，据此知FB=2FE，
=
，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出
在Rt△ACF中根据AF2=AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠C=90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD， ∴△ABC≌△ABD， ∴∠ADB=∠C=90°，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
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（2）∵△ABC≌△ABD， ∴AC=AD， ∵AB2=AC•AE， ∴AB2=AD•AE，即∵∠BAD=∠EAB， ∴△ABD∽△AEB， ∴∠ABE=∠ADB=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴BE是⊙O的切线；
=，
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°， ∴AB=∵∴
==，
，
=
=2
，
解得：DE=1， ∴BE=
=
，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC， 又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°， ∴∠DBE=∠BAE， ∴∠FBE=∠BAC， 又∠BAC=∠BAD， ∴∠FBE=∠BAD， ∴△FBE∽△FAB， ∴
=
，即
=
=，
∴FB=2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2=AC2+CF2，
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∴（5+EF）2=42+（2+2EF）2， 整理，得：3EF2﹣2EF﹣5=0， 解得：EF=﹣1（舍）或EF=， ∴EF=．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
26．（12.00分）（2018•盐城）【发现】如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．
（1）若AB=6，AE=4，BD=2，则CF= 4 ； （2）求证：△EBD∽△DCF．
【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出明理由．
【探索】如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为 1﹣cosα （用含α的表达式表示）．
的值；若不存在，请说
【分析】（1）先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠DEF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而
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CF=CD=BC﹣BD；
（2）证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角•相似模型”，根据“AA”判定相似；
【思考】由角平分可联系到角平分线的性质“角平分线上点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而证明△BDM≌△CDN可得BD=CD；
【探索】由已知不能求得C△ABC=AB+BC+AC=2AB+2OB=2（m+mcosα），则需要用m和α是三角函数表示出C△AEF，C△AEF=AE+EF+AF=AG+AH=2AG；题中直接已知点O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则C△AEF=AE+EF+AF=AG+AH=2AG，而AG=AB﹣BO，从而可求得．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°． ∵AE=4， ∴BE=2， 则BE=BD，
∴△BDE是等边三角形， ∴∠BED=60°， 又∵∠EDF=60°，
∴∠CDF=180°﹣∠EDF﹣∠B=60°， 则∠CDF=∠C=60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴CF=CD=BC=BD=6﹣2=4． 故答案是：4；
（2）证明：如图①，∵∠EDF=60°，∠B=60°， ∴∠CDF+BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°， ∴∠BED=∠CDF． 又∠B=∠C=60°，
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∴△EBD∽△DCF；
【思考】存在，如图②，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，
∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE． ∴DM=DG=DN．
又∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°， ∴△BDM≌△CDN，
∴BD=CD，即点D是BC的中点， ∴
=；
【探索】如图③，连接AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别是G、D、H．
则∠BGO=∠CHO=90°， ∵AB=AC，O是BC的中点， ∴∠B=∠C，OB=OC， ∴△OBG≌△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°﹣α， 则∠GOH=180°﹣（∠BOG+∠COH）=2α， ∴∠EOF=∠B=α 则∠GOH=2∠EOF=2α．
由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=GE+FH（可通过半角旋转证明）， 则C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG， 设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α．
=
=
=
=1﹣cosα．
故答案是：1﹣cosα．
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【点评】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了角平分线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，综合性较强，难度较大，需要学生具备对所学几何知识的综合应用能力．
27．（14.00分）（2018•盐城）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
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（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标； （Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=﹣2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：
，解得：
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为， ∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）． 设直线PQ的表达式为y=mx+n，
将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y=mx+n，得：
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，解得：，
∴直线PQ的表达式为y=﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+）， ∴DE=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）=﹣x2+3x+，
∴S△DPQ=DE•（xQ﹣xP）=﹣2x2+6x+=﹣2（x﹣）2+8． ∵﹣2＜0，
∴当x=时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3）， ∴DE=﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]=﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t， ∴S△DPQ=DE•（xQ﹣xP）=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t=﹣2[x﹣（t+2）]2+8． ∵﹣2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）
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根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=﹣2x2+6x+；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t．
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