线性空间和度量空间

线性空间和度量空间

摘要：线性空间和度量空间是很重要的内容，本文对空间的线性结构和度量结构做了简单总结，体现了空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性，特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间.而向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示.

关键词：空间；线性；度量

线性空间是线性代数最基本的概念之一.在解析几何中，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律来描述的.

定义1 设X是一个集合，P是一个数域.在集合X的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于X中任意两个元素与，在X中都有唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为.在数域P与集合X的元素之间还定义了一运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P中任一数k与X中任一元素，在X中都有唯一的一个元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记为k.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么X称为数域P上的线性空间.

加法满足下面四条规则： 1）； 2）()()；

1

3）在X中有一个元素0，对于X中任一元素都有

0；

4）对于X中每一个元素，都有X中的元素，使得

0.

数量乘法满足下面两条规则：

5）1； 6）k(l)(kl).

数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）(kl)kl； 8）k()kk.

在以上规则中，k，l等表示数域P中任意数；，，等表示集合X中任意元素.

由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间.分量属于数域P的全体n元数组构成数域P上的一个线性空间，这个线性空间我们用P来表示.

n下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质.

2

1. 零元素是唯一的.

假设01，02是线性空间V中的两个零元素.我们来证0102.考虑和

0102.

由于01是零元素，所以010202.又由于02也是零元素，所以

0102020101.

于是

01010202

这就证明了零元素的唯一性.

2. 负元素是唯一的.

这就是说，适合条件0的元素是被元素唯一确定的. 假设有两个负元素与，

0，0.

那么

3

0()()0.

向量的负元素记为.

利用负元素，我们可以定义减法如下：

().

3. o0;k00;(1).

我们先来证o0.因为

o1o(1o)1.

两边加上即得

o0.

再证第三个等式.我们有

(1)1(1)(11)o0

两边加上即得

(1)

4



易证

k0k(00)k0k00

4. 如果k0，那么ko或者0 .

假设ko，于是一方面

k1(k)k100 .

而另一方面

k1(k)(k1k)1k1(k)k100.

由此即得0

对于线性变换，定义加法与数量乘法，线性空间X上全体线性变换对于加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间.

定义2 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 1）f()f()f()； 2）f(k)kf()，

式中，是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数.

5

设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作L(V,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法.

设f，g是V的两个线性函数.定义函数fg如下：

(fg)()f()g(),V.

fg也是线性函数：

(fg)()f()g()

f()f()g()g() (fg)()(fg)()，

(fg)(k)f(k)g(k)

kf()kg() k(fg)()，

fg称为f与g的和.

还可以定义数量乘法.设f是V上线性函数，对P中任意数k，定义函数kf如下：

(kf)()k(f()),V，

6

kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数.

容易检验在这样定义的加法和数量乘法下，L(V,P)称为数域P上的线性空间.

取定V的一组基1,2,...,n，作V上n个线性函数f1,f2,...,fn,使得

1,ji;fij0,ji, 1

i,j1,2,...,n.

因为fi在基1,2,...,n,上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.

对V中向量

xii,i1n有fixi， 2

即fi是的第i个坐标的值.

引理 对V中任意向量，有

fii,i1n 3

而对L(V,P)中任意向量f，有

7

n

ffifi.i1 4

证明: 3是2的直接结论，而由1及3就得出4.

定理1 L(V,P)的维数等于V的维数，而且f1,f2,...,fn是L(V,P)的一组基.

证明 首先证明f1,f2,...,fn是线性无关的，设

c1f1c2f2...cnfn0 c1,c2,...,cnP.

依次用1,2,...,n代入，即得c1c2...cn0.因此f1,f2,...,fn是线性无关的.

4又由知L(V,P)中任一向量都可以由f1,f2,...,fn线性表出，所以f1,f2,...,fn是L(V,P)的一

组基，dimLV,PndimV.

定义3 L(V,P)称为V的对偶空间.由1决定的L(V,P)的基，称为1,2,...,n的对偶基.

以后我们简单地把V的对偶空间记作V.

例1 考虑实数域R上的n维线性空间根据拉格朗日插值公式，得到n个多项式

VPxn，对任意取定的n个不同实数a1,a2,...,an,

pixxa1...xai1xai1...xan,aia1...aiai1aiai1...aian

8

i1,2,...,n. 它们满足

1,ji;piaj0,ji,i,j1,2,...,n.

p1x,p2x,...,pnx是线性无关的，因为由

c1p1xc2p2x...cnpnx0, 用ai代入，即得

cpacpackkiiiik1ni0,

i1,2,...,n.

又因V是n维的，所以p1x,p2x,...,pnx是V的一组基.

LiVi1,2,...,n设

是在ai点的取值函数：

Lipxpai,pxV,

i1,2,...,n. 则线性函数Li满足

9

1,ji;Lipjxpjai0,ji,i,j1,2,...,n.

因此，L1,L2,...,Ln是p1x,p2x,...,pnx的对偶基.

在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算.如果以几何空间中的向量作为线性空间理论的具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度，夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映.但是向量的度量性质在许多问题中有着特殊的地位.

定义4 设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应而且这一对应关系满足下列条件：

1）d(x,y)0,d(x,y)0的充要条件为xy；

2）d(x,y)d(x,z)d(y,z)，对任意z都成立，则称d(x,y)是x，y之间的距离，称(X,d)为度量空间.

例2 可测函数空间M(X).

设M(X)为X上实值（或复值）的Lebesgue可测函数全体，m为Lebesgue测度，若m(X)，对任意两个可测函数f(t)及g(t)，由于

f(t)g(t)1f(t)g(t)1

10

所以这是X上可积函数，令

d(f,g)f(t)g(t)1f(t)g(t)Xdt.

如果把M(X)中两个几乎处处相等的函数视为M(X)中同一个元，那么利用不等式

ab1aba1ab1b

及积分性质容易验证d(f,g)是距离.因此M(X)按上述距离d(f,g)称为度量空间.

2例3 l.

2lxxk:xk.xxkl2,yykl2,k1记设 2定义

2dx,yykxk,k1

12则d是l上的距离（可以证明d）.距离条件的1是容易得出的.现检验条件2.

2x对任意正整数n，

nx1,x2,...,xn和

yy1,y2,...,ynn都是R中元素，由Cauchy不等式

nnnn22xyxykkkk,k1k1 k1

2 11

不等式右端令n，得

n22xkykxkyk.k1k1 k1

2再令左端的n趋于，即得

22xkykxkyk.k1k1 k1

2由此可得

xk1kykx2xkykyk22kk1k1k12

12222x2xkykykk1k1k1 k12k112222xkyk.k1k1 2今取k,k,k.以xkkk,ykkk代入上式，即可得,,的三点不等式

d,d,d,.

由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里得空间R之外，还包括其他的空间.

n 12

定义5 设X(X,d)是度量空间，xn是X中点列，如果对任何事先给定的正数0，存在正整数NN()，使当n,mN时必有

d(xn,xm)，

则称xn是X中的柯西点列.如果度量空间(X,d)中每个柯西点列都在(X,d)中收敛，那么称(X,d)是完备的度量空间.

例4 l是完备度量空间.

证明 设

xm是l中的柯西点列，其中

xm1m,2m,...，

对于任意0，存在正整数N，

当时n,mN时，

dxm,xnsupjmjnj 5

因此，对每一个固定的j，当n,mN时，成立

这就是说，数列

x1,2,....jmjn. 6

jjk,k1,2,...是柯西数列，因此，存在数，使得

jkjn，令

下面证明xl，且xmxm.在

式中，令n，我们得到，对一切mN，成立

jmj,7 

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又因

xm1m,2m,...,jm,...l，因此存在实数

Km

，使得对所有j，成立

jmKm.因此，

jjjmjmKm.

xl.由7式，可知对一切mN，成立 这就证明了

dxm,xsupjmj.j

所以xmxm.因此l是完备度量空间.证毕.

令C表示所有收敛的实（或复）数列全体，对C中任意两点x1,2,...,y1,2,...，令

dx,ysupjj.j

易证C是一度量空间，实际上它是l的一个子空间.

特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间.在赋范线性空间中的元素可以相加或者数乘，元素之间不仅有距离，而且每个元素有类似于普通向量长度的叫做范数的量.

定义6 设X实（或复）的线性空间，如果对每个向量xX，有一个确定的实数，记为

x与之对应，并且满足：

1)

x0,且

x0等价于x0；

14

2)xx其中为任意实（复）数；

3）xyxy，，yX，

则称x为向量x的范数，称X按范数x称为赋范线性空间.

设xn是X中点列，如果存在xX，使xnx0(n)，则称xn依范数收敛于x.记为

xnx(n)，或xlimxnx.

如果令

d(x,y)xy (x,y)X，

容易验证d(x,y)是X上的距离，且xn依范数收敛于x等价于xn按距离d(x,y)收敛于x.称d(x,y)为由范数

x导出的距离.所以赋范线性空间实际上是一种特殊的度量空间.如果

d(x,y)是由x导出的距离，x那么这种距离和线性运算之间有某种关系，即对任何数和

向量x,yX，有

（a）d(xy,0)d(x,y)，

（b）

d(x,0)d(x,0).

反之，如果X是线性空间，d是X上的距离，并且满足条件（a）和（b），那么一定可以在X上定义范数

x，使d是由

x所导出的距离.事实上，令xd(x,0)，由条件（a），

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（b），不难证明这样定义的x是范数，且d(x,y)xy.条件（a），（b）反映了空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性.

完备的赋范线性空间称为Banach空间

l例5 空间，对每个x(1,2,)l，定义

xsupjj. (8)

不难验证l按(8)中范数成为Banach空间.

在解析几何中看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质.所以在抽象的讨论中，取内积作为基本的概念.

定义7 设X是实数域R上一线性空间，在X上定义了一个二元函数，称为内积，记作,，它具有以下性质：

1）,,； 2）k,k,； 3）,,,；

4）,0，当且仅当0时,0；

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这里，，是X中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间X称为欧几里得空间.

例6 在闭区间a,b上的所有连续函数所成的空间Ca,b中，对于函数f(x)，g(x)定义内积

f,gf(x)g(x)dxab. （9）

由定积分的性质不难证明，对于内积(9)构成一欧几里得空间.

欧式空间是专对实数域上的线性空间而讨论的.酉空间实际就是复数域上的欧式空间.

定义8 设X是复数域上的线性空间，在X上定义了一个二元函数，称为内积，记作

,，它具有以下性质：

1）,,，这里,是,的共轭复数；

2）k,k,； 3）,,,；

4),是非负实数，且,0当且仅当,0.

这里，，是X中任意向量，k为任意复数，这样的线性空间称为酉空间.

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2i,ii,,0 ,,0如果照搬欧氏空间内的，对于，有

与i,i0是矛盾的.

所以将对称性修改成,,这一性质称为埃而米特性.所以

i,ii,iii,ii,,0.

这样就不矛盾了.

n来看一个例子：在复数域C上的n维线性空间C中，对向量(a1,a2,,an)，

(b1,b2,,bn)定义二元复函数

,a1b1a2b2anbn.

根据酉空间的4个条件可以判断C构成一个酉空间.

n由内积的定义可知：

1 若,kk,k,k,，

特别

,00.

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2 ,,,,,,，

由1，2可知，酉空间的内积对第二个变量是半线性的.换句话说就是：

,k11k22k1,1k2,2.

3 因为,0，由此我们同样可以定义向量的长度，,.特别的，若1，称为单位向量.

由向量的长度可以得到以下一些性质：

（1）kk

(k,k)kk(,)也就是说

k2k22

kk

1（2）若0，则

为单位向量.

（3）柯西—布涅柯夫斯基不等式仍然成立，也就是：,X有(,)，其中

(,)表示复数（,）的模，当且仅当,线性相关时，等号成立.

对于以上的不等式，对于非零向量,可以定义它们的夹角

,arccos(,)，

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其中0,

2，这时称,是正交的，记作.

若,0，那么

,参考文献：

[1] 邱森编.高等代数.武汉：武汉大学出版社.

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Linear spaces and metric spaces

Wang Weidong (200611009)

Institute of Mathematical Sciences, Mathematics and Applied Mathematics 06 (1)

Class

20

Instructor Su Yala Tu

Abstract: The linear space and metric space is a very important part of this paper the linear structure of space and structure to do a simple summary measure reflects the metric structure of space and linear structure of a coordination between, the vector Measure the length and nature of the angle between the vector can be adopted to represent the inner product.

Key words: space; linear; measure

21