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二次函数与三角形周长，面积最值问题
知识点： 1、二次函数线段，周长问题
2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题
【新授课】
考点 1：线段、周长问题
例 1.(2018· 宜宾)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（ 经过点（ 4，1），
2，0），且
如图，直线 y= x 与抛物线交于 A、B 两点，直线 l 为 y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；
（2）在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标 ；若不存在，请说明理由． 拓展： 在 l 上是否存在一点 P，使PB-PA 取得最大值？若存在，求出点 P 的坐标 。
专业资料
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练习
1、如图， 已知二次函数
2
y ax
4
x c 的图象与坐标轴交于点
A（-1 ，0 ）和点 B（0，-5 ）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 标．
y
P，使得△ABP的周长最小．请求出点 P的坐
O
x
A
B
2- 5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知 BC∥x
2、如图，抛物线 y= ax
轴，点 A 在x 轴上，点 C 在 y 轴上，且 AC=BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点
M，使| MA- MB| 最大？若存在，求出
点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
y C A
O
x
B
专业资料
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2+bx+c 经过 A（﹣1，0），B（4，0），C（0，
例 2. (2018?莱芜)如图， 抛物线 y=ax
3）三点，D 为直线 BC 上方抛物线上一动点， DE⊥BC 于 E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图 1，求线段 DE 长度的最大值；
练习
1、如图，抛物线 y=
1 2 2
x +bx－2 与 x轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C点，且⑴求抛物线的解析式及顶点
D 的坐标；
⑵判断△ ABC的形状，证明你的结论；
⑶点M (m，0)是x轴上的一个动点，当 CM+DM的值最小时，求 m的值． （4）过点 F 作 FG垂直 X 轴，并与直线 BC交于点 H，求 FH的最大值。
专业资料
A（一，0）． 1
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3 3
2、 如图，在平面直角坐标系中， 直线 y x 与抛物线
4
2
1
2
y
4
x bx c
交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 - 8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，交直线 AB 于点 D，作 PE⊥AB 于点 E．设△PDE的 周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求 l 关于 x 的函数关系式， 并求出 l 的最大值．
考点 专业资料
y
P A
C
O x
E D
B
2：二次函数面积最大值
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1. (2018?泰安 )如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax 2+bx+c 交 x 轴于点 A （﹣4，0）、B（2，0），交 y 轴于点 C（0，6），在 y 轴上有一点 E（0，﹣2）， 连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求△ ADE 面积的最大值；
2.(2018?东)如图，抛物线 y=a(x-1)(x-3)（a>0）与 x 轴交于 A、B 两点，抛物线 营
上另有一点 C 在 x 轴下方，且使△ OCA∽△ OBC． （1）求线段OC 的长度；
（2）设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线 的解析式；
（3）在（ 2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理．由
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练习
3.如图，抛物线经过 A(- 1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．
（2）点 M 是直线 BC上方抛物线上的点（不与
B，C重合），过点 M 作 MN∥y 轴交线段 BC
于点 N，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表示 MN 的长．
（3）在（ 2）的条件下，连接 MB，MC，是否存在点 M ，使四边形 OBMC 的面积最大？若 存在，求出点 M 的坐标及四边形 OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．
y
M
C
N
A O B xy
M
C
N
A O B x
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课后练习
1、（2017·衢州）定义：如图
1，抛物线
与
轴交于 A，B 两点，
点 P 在抛物线上（点 P 与 A，B 两点不重合） ，如果△ ABP 的三边满足
则称点 P 为抛物线
的勾股点。
(1)直接写出抛物线
的勾股点的坐标；
(2)如图 2，已知抛物线 C：
与
轴交于 A，B 两点，点 是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点 Q 在抛物线 C上，求满足条件 的点的坐标
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，
（1，
）
Q（异于点 P）
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2、如图， Rt△ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上， O 为坐标 原点， A、B 两点的坐标分别为（ 顶点在直线 x 5 上．
3，0）、（0，4），抛物线
2
2
y
3
2
x bx c 经过 B 点，且
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ ABO沿 x 轴向右平移得到的，当四边形
C和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）若 M 点是 CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点
ABCD是菱形时，试判断点 M 作 MN 平行于 y 轴交
CD于点 N．设点 M 的横坐标为 t，并求 l 取最大值时，点 M 的坐标．
y
B
C
N
M
A
O
D
E
x
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MN 的长度为．求 l 与 t 之间的函数关系式
l，