垂直平分线角平分线综合应用
时间：2021.02.07 命题人：欧阳物 一．解答题（共30小题）
1．如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试
说明AE=CF．
2．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点．
3．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
4．如图，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求证：E是BC的中点．
5．如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．
6．如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长．
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8．如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求：
（1）∠ABD的度数；（2）DB的长度．
9．如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点．问：
（1）点E在∠ABC的平分线上吗？
（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明．
10．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：AE平分∠BAD；
（2）判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明； （3）若AD=10，CB=8，求S△ADE．
11．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D， 求证：BE+DE=AC．
13．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．
15．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
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（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．
（1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
17．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．
（1）求∠PAQ的度数；
（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．
18．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
19．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8 米，AB=10厘米，求△EBC的周长．
20．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）说明：DC=BE；
（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度数．
21．如图所示，MP和 NQ分别垂直平分AB 和AC． （1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数； （2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，
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且BE=．
求证：AB平分∠EAD．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上； （2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．
25．如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明． 1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形； 2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）． 附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．
26．如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
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（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC=90°（如图）
附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题： （1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？ （3）当t为何值时PQ∥BC？
28．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当t=1时，求△ACP的面积．
（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰
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三角形？（直接写出结论）
30．如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是．猜想：EF与BE、CF之间的关系是．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
垂直平分线角平分线综合应用_2017年03月11日的初中数学组卷
参与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2016•海淀区校级模拟）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，
EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．
【分析】作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质可得EH=ED，再证ED=FG，则EH=FG，通过证明△AEH≌△CFG即可． 【解答】解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G， ∵∠1=∠2，AD⊥BC，
∴EH=ED（角平分线的性质） ∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC， ∴四边形EFGD是矩形，
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∴ED=FG， ∴EH=FG，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠C+∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠C，
又∵∠AHE=∠FGC=90°， ∴△AEH≌△CFG（AAS） ∴AE=CF．
【点评】本题考查了角平分线的性质；综合利用了角平分线的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定等知识点．
2．（2016秋•宁江区期末）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN，MN=CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM=180°， ∴∠MAD+∠ADM=90°， ∴∠AMD=90°，
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即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B=90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM=MN，MN=CM， ∴BM=CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
3．（2016春•济南校级期末）已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明．
【分析】当D为AB的中点时，AD为等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”可知AD为∠A的平分线，又DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可证DE=DF．
【解答】解：当D为BC的中点时，DE=DF． 理由：∵AD为等腰三角形底边上的中线， ∴AD平分∠BAC，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质．关键是运用等腰三角形的“三线合一”解题．
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4．（2016春•沭阳县期末）如图，∠B=∠C=90°，DE平分∠ADC，AE平分∠DAB，求证：E是BC的中点．
【分析】过点E作EF⊥AD，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即刻得到结论．
【解答】证明：过点E作EF⊥AD于F， ∵∠B=∠C=90°， ∴CD⊥BC，AB⊥BC，
∵DE平分∠ADC，AE平分∠DAB， ∴CE=DF，EF=BE， ∴CE=BE，
∴E是BC的中点．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
5．（2016春•潜江校级期中）如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．
【分析】利用角平分线的性质求得AE=AC，CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E， ∴AC=AE，CD=DE，AC=BC， ∴∠B=45°， ∴BE=DE，
∴△DEB的周长=BE+DE+BD=BE+AC=AB=6cm．
【点评】本题考查了三角形的全等的性质；解题的关键是利用角平分线的性质
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求得AE=AC，CD=DE，要学会进行线段的等效转移．
6．（2016秋•监利县校级期中）如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF．
【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．
【解答】解：∵∠B=90°， ∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC， ∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴BE=CF．
【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
7．（2016秋•红安县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC的长．
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC于点F， ∴DE=DF=2，
∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，
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∵△ABC的面积为7，
∴△ADC的面积为7﹣4=3， ∴AC×DF=3， ∴AC×2=3， ∴AC=3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
8．（2016春•毕节市校级期中）如图，∠ABC=60°，点D在AC上，ED=6，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，求： （1）∠ABD的度数；（2）DB的长度．
【分析】（1）根据DE⊥BC，DF⊥AB，且DE=DF，即可得出点D在∠ABC的角平分线上，由∠ABC=60°，即可得出∠ABD=30°；
（2）根据在直角三角形中，含30°角的直角边等于斜边的一半，即可得出DB的长．
【解答】解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AB， 且DE=DF， ∴DB平分∠ABC，
即∠ABD=∠ABC=×60°=30°； （2）在直角三角形BFD中， ∵∠DBC=∠ABC=×60°=30°， ∴DE=5，
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∴BD=2DE=12．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，含30°角的直角边等于斜边的一半．
9．（2016秋•东胜区校级月考）如图．已知AD∥BC，DC⊥AD，∠BAD的平分线交CD于点E，且点E是CD的中点．问： （1）点E在∠ABC的平分线上吗？
（2）AD+BC与AB的大小关系怎样？请证明．
【分析】（1）连结BE，作EH⊥AB于H，如图，利用角平分线的性质得ED=EH，而ED=EC，则EC=EH，然后根据角平分线的判定方法即可得到BE平分∠ABC； （2）利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△AHE得到AD=AH，同样可证明Rt△BCE≌Rt△BHE得到BC=BH，于是有AD+BC=AH+BH=AB． 【解答】解：（1）连结BE，作EH⊥AB于H，如图， ∵AE平分∠BAD，ED⊥AD，EH⊥AB， ∴ED=EH，
∵点E是CD的中点， ∴ED=EC， ∴EC=EH，
而AD∥BC，DC⊥AD， ∴EC⊥BC，
∴BE平分∠ABC，即点E在∠ABC的平分线上； （2）AD+BC=AB．理由如下： 在Rt△ADE和Rt△AHE中
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，
∴Rt△ADE≌Rt△AHE， ∴AD=AH，
同样可证明Rt△BCE≌Rt△BHE， ∴BC=BH，
∴AD+BC=AH+BH=AB．
【点评】本题考查了角平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质．
10．（2016秋•襄城区月考）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：AE平分∠BAD；
（2）判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明； （3）若AD=10，CB=8，求S△ADE．
【分析】（1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；
（3）根据角平分线的性质可得EF=CE，再利用三角形的面积公式可得答案． 【解答】（1）证明：过点E作EF⊥DA于点F， ∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
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∴CE=EF，
∵E是BC的中点， ∴BE=CE， ∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD， ∴AE平分∠BAD．
（2）证明：AD=CD+AD， ∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL）， ∴DC=DF， 同理AF=AB， ∵AD=AF+DF， ∴AD=CD+AD；
（3）解：∵CB=8，E是BC的中点， ∴CE=4， ∴EF=4， ∵AD=10，
∴S△ADE=10×4×=20．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质和判定，以及全等三角形的性质和判定，关键是掌握角平分线的性质和判定定理．
11．（2016秋•黄冈校级月考）如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB
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，
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于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．
【分析】根据角平分线性质得出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出即可．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE=DF，
∵S△ABC=28，AB=6，BC=8， ∴×6×DE+×8×DF=28， ∴DE=DF=4．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键．
12．（2016•历下区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D， 求证：BE+DE=AC．
【分析】根据角平分线性质得出CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，代入AC=AE+CE求出即可． 【解答】证明：∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BC，
∵ED⊥AB，BE平分∠ABC， ∴CE=DE，
∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∵AC=AE+CE，
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∴BE+DE=AC．
【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
13．（2016•萧山区二模）已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE=CF，求证：AD是BC的中垂线．
【分析】由AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，继而证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得∠B=∠C，证得AB=AC，然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线． 【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（SAS）， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线， ∴AD是BC的中垂线．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握三线合一性质的应用．
14．（2016•怀柔区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D．求证：∠CAB=∠AED．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再由直角三角形的性质即
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可得出结论．
【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE，∠ADE=90°， ∴∠EAB=∠B． 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠B=90°． 在Rt△ADE中， ∵∠ADE=90°，
∴∠AED+∠EAB=90°， ∴∠CAB=∠AED．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
15．（2016秋•农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM，BN=CN，然后求出△CMN的周长=AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
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∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB=15cm；
（2）∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， ∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， ∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， ∵AM=CM，BN=CN， ∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键． 16．（2016春•雁塔区校级期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF． （1）若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数；
（2）若BC=5，BF：FD=5：3，S△BCF=10，求点D到AB的距离．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到FB=FC，根据角平分线的定义得到∠CBA=48°，根据三角形内角和定理计算即可；
（2）根据三角形的面积公式求出DG，根据角平分线的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA=2∠CBD=2∠ABD=48°，
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∴∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°， ∵EF是BC的中垂线， ∴FB=FC，
∴∠FCB=∠FBC=24°， ∴∠ACF=72°﹣24°=48°；
（2）作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H， ∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，DH⊥AB， ∴DH=DG，
∵BF：FD=5：3，S△BCF=10， ∴S△DCF=6， ∴S△BCD=16， ∴DG=
，
，即点D到AB的距离为
．
∴DH=DG=
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是今天的关键．
17．（2016春•东明县期中）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC． （1）求∠PAQ的度数；
（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等边对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然
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后根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解； （2）求出△APQ的周长=BC，然后代入数据即可得解． 【解答】解：（1）∵PM垂直平分AB， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠B， 同理，QA=QC， ∴∠QAC=∠C， ∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°； （2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，
∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周长为10cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记性质熟记解题的关键．
18．（2016秋•西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．
【解答】解：设两条公路相交于O点．P为线段AB的垂直平分线与∠MON的平分线交点或是与∠QON的平分线交点即为发射塔的位置．如图，满足条件的点有两个，即P、P′．
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【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题． 19．（2016秋•鹤庆县校级期中）如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8 米，AB=10厘米，求△EBC的周长．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线， ∴EA=EC，
∴△EBC的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=18cm， 答：△EBC的周长为18cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
20．（2016秋•盐都区期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足． （1）说明：DC=BE；
（2）若∠AEC=72°，求∠BCE的度数．
【分析】（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
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【解答】解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE， ∴DG是CE的垂直平分线， ∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线， ∴DE=BE=AB， ∴DC=BE；
（2）∵DE=DC， ∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE， ∵DE=BE， ∴∠B=∠EDB， ∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=72°， 则∠BCE=24°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
21．（2016秋•和平区期中）如图所示，MP和 NQ分别垂直平分AB 和AC． （1）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数； （2）若∠PAQ=25°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=75°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以
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∠PAB+∠QAC=75°，便不难求出∠PAQ的度数为30°；
（2）根据线段垂直平分线的性质，得AP=BP，AQ=CQ，则∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，则∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C；根据三角形的内角和定理，得∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=150°，则∠B+∠C=75°，进而求解． 【解答】解：（1）∵∠BAC=105°， ∴∠ABP+∠ACQ=180°﹣105°=75°， ∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC， ∴PB=PA，QC=QA．
∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ， ∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=75°， ∴∠PAQ=105°﹣75°=30°；
（2）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ， ∴∠APQ=2∠B，∠AQP=2∠C． ∵∠PAQ=25°，
∴∠APQ+∠AQP=180°﹣∠PAQ=155°， ∴∠B+∠C=77.5°．
∴∠BAC=∠B+∠C+∠PAQ=77.5°+25°=102.5°．
【点评】此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．
22．（2016•西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
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AE⊥BE于点E，且BE=求证：AB平分∠EAD．
．
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．
【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴BD=BC，AD⊥BC， ∵BE=BC， ∴BD=BE， ∵AE⊥BE，
∴AB平分∠EAD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（2016•黄冈模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC点的中线，E是AC的中点，连接AC，DF⊥AB于F．求证：∠BDF=∠ADE．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°，根据等腰三角形的判定定理得到∠CAD=∠ADE．根据余角的性质得到∠BAD=∠BDF，等量代换即可得到结论．
【解答】证明：∵AB=AC，AD是△ABC点的中线， ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC=90°， ∵E是AC的中点， ∴DE=AE=EC，
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∴∠CAD=∠ADE．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°． ∵DF⊥AB，
∴∠B+∠BDF=90°， ∴∠BAD=∠BDF， ∴∠BDF=∠CAD， ∴∠BDF=∠ADE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（2016春•校级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F． （1）求证：点O在AB的垂直平分线上； （2）若∠CAD=20°，求∠BOF的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，根据垂直平分线的性质可得BO=AO，依此即可证明点O在AB的垂直平分线上；
（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°，再根据垂直的定义，等腰三角形的性质和角的和差故选即可得到∠BOF的度数． 【解答】（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，
∵AD是BC的垂直平分线， ∴BO=CO，
∵OE是AC的垂直平分线，
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∴AO=CO， ∴BO=AO，
∴点O在AB的垂直平分线上；
（2）解：∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠CAD=20°，∠CAB=40°， ∵OE⊥AC，
∴∠EFA=90°﹣40°=50°， ∵AO=CO，
∴∠OBA=∠BAD=20°，
∴∠BOF=∠EFA﹣∠OBA=50°﹣20°=30°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．
25．（2006•大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明． 1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形； 2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）． 附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF
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的形状，并说明理由．
【分析】（1）要证DF=EF，就要证出∠FDE=∠FED，也就是∠BDA=∠NEC，观察这两个角，不能直接用角的大小关系或全等来得出相等，那么可通过构建全等三角形来得出一个和两个分别相等的中间值，以此来证出两角相等，那么可过C作CP⊥AC，那么我们可通过证三角形ABD和APC全等来得出∠ADB=∠ACP，通过证三角形CPN和CEN全等来得出∠MEC=∠NPC．先看第一对三角形，已知的条件有AB=AD，一组直角，而∠ABD和∠PAC都是∠ADB的余角，因此∠ABD=∠PAD，那么两三角形就全等，可得出AC=PC=CE，∠ADB=∠NPC，又知道了∠NCE=∠PCN=45°，一条公共边CN，那么后面的一对三角形也全等，就能得出∠ADB=∠MEC=∠NPC，也就能得出∠FDE=∠FED了由此可得证．
（2）解题思路和（1）一样，也是先证三角形ABD和APC全等，后证三角形CPN和CEN全等，来得出结论． 【解答】解：△DEF是等腰三角形
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P ∵Rt△ABC中AB=AC ∴∠BAC=90°，∠ACB=45° ∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP ∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90° ∴∠ABD=∠CAP ∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP，∠ADB=∠P
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∵AD=CE ∴CE=CP ∵CN=CN ∴△CPN≌△CEN ∴∠P=∠CEN ∴∠CEN=∠ADB ∴∠FDE=∠FED
∴△DEF是等腰三角形． 附加题：△DEF为等腰三角形
证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P ∵Rt△ABC中AB=AC ∴∠BAC=90°，∠ACB=45° ∴∠PCN=∠ACB=∠ECN ∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90° ∴∠ABD=∠CAP ∴△BAD≌△ACP ∴AD=CP，∠D=∠P ∵AD=EC，CE=CP 又∵CN=CN ∴△CPN≌△CEN ∴∠P=∠E ∴∠D=∠E
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∴△DEF为等腰三角形．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的判定与性质；通过已知和所求条件正确的构建出全等三角形是解题的关键．
26．（2006•西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；
（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC=90°（如图）
附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段DE与AM之间的关系．
【分析】（1）分三种情况讨论，当∠BAC=90°，易得△ABC≌△AED；根据直角三角形的性质，可得ED=2AM；进而可以在∠BAC＞90°与∠BAC＜90°时，比较可得有ED=2AM的结论；
（2）根据（1）的结论，选取②易得答案． 【解答】解：（1）分三种情况； 当∠BAC=90°，M是BC的中点 ∴AM=BM=MC=
∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD ∴△ABC≌△AED
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∴ED=BC ∴ED=2AM
当∠BAC＞90°，易得ED=2AM 当∠BAC＜90°，易得ED=2AM
（2）已知（1）的结论，若∠BAC=90°，可得ED=2AM 附加：结合上题可得：2AM=DE 延长CA到F使AF=AC，连接BF 易证△ABF≌△ADE ∴BF=DE ∵2AM=BF ∴2AM=DE．
【点评】本题为探究性题目，要求学生能全面考查可能出现的情况，并依次求出其中的关系．
27．（2012•中山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从B点出发以2cm/秒的速度向A点运动，点Q从A点出发以1cm/秒的速度向C点运动，设P、Q分别从B、A同时出发，运动时间为t秒．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP，AQ的长；
（2）当t为何值时△APQ是以PQ为底的等腰三角形？ （3）当t为何值时PQ∥BC？
【分析】（1）由题意，可知∠B=30°，AC=6cm．BP=2t，AP=AB﹣BP，AQ=t． （2）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，则有AP=AQ，即12﹣2t=t，求出t即可．
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（3）若PQ∥BC，则有AQ：AC=AP：AB．从而问题可求． 【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°． 又∵AB=12cm，∴AC=6cm，BP=2t，AP=AB﹣BP=12﹣2t，AQ=t． （2）∵△APQ是以PQ为底的等腰三角形， ∴AP=AQ，即12﹣2t=t，
解得t=4，即当t=4秒时△APQ是等腰三角形． （3）∵当AQ：AC=AP：AB时，有PQ∥BC， ∴t：6=（12﹣2t）：12，解得t=3． 即当t=3秒时，PQ∥BC．
【点评】此题考查等腰三角形的判定和直角三角形的性质等知识点的综合应用能力．
28．（2015秋•杭州校级期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分．
（2）当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP的长；
（3）当t为何值时，△BCP为等腰三角形？
【分析】（1）先由勾股定理求出△ABC的斜边AB=10cm，则△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
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（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．
【解答】解：（1）△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm， ∴AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm， ∴t=12÷2=6（秒）；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm）， ∴t=13÷2=6.5（秒）， ∴CP=AB=×10=5cm；
（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）； 如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）
（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10﹣6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），
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t=13÷2=6.5（秒）；
综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形． 【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
29．（2015秋•泰兴市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=1时，求△ACP的面积．
（2）t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
（3）请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？（直接写出结论）
【分析】（1）把t=1代入得出CP=2，利用三角形的面积进行解答即可； （2）过P作PE⊥AB，设CP=2t，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可；
（3）根据AC=CP，利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）把t=1得出CP=2，所以△ACP的面积=（2）过P作PE⊥AB，如图1：
CP=2t，BP=（8﹣2t）cm，AE=AC=6cm，PE=CP=2t，BE=10﹣6=4， 可得：（8﹣2t）2=（2t）2﹣42 解得：t=
；
；
（3）如图2，3，4：
因为△ACP是以AC为腰的等腰三角形，
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当AC=CP=6时，t1=6÷2=3s； 当AC=CP=6时，当AC=AP=6时，
； s．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
30．（2010秋•元坝区期末）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC．猜想：EF与BE、CF之间的关系是EF=BE+CF．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是△EOB、△FOC．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC． （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．
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（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE﹣FC．
【解答】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC； EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下： ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB； ∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO； 即EO=EB，FO=FC； ∴EF=EO+OF=BE+CF．
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE﹣FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形； ∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG； ∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形； ∴EF=EO﹣FO=BE﹣FC．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
时间：2021.02.07 命题人：欧阳物 欧阳物创编 2021.02.07
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