大题专项练习(四) 立体几何
1．[2020·安徽池州月考]如图，在几何体ABC－A1B1C1中，平面A1ACC1⊥底面ABC，四
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边形A1ACC1是正方形，B1C1∥BC，Q是A1B的中点，且AC＝BC＝2B1C1，∠ACB＝.
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(1)证明：B1Q⊥A1C；
(2)求直线AC与平面A1BB1所成角的正弦值．
»所在平面2．[2020·全国卷Ⅲ]如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD»上异于C，D的点． 垂直，M是CD(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．
3．[2020·康杰中学模拟]已知四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝BC＝1，沿对角线BD将△ABD旋转，使得点A至点P的位置，此时满足PD⊥BC.
(1)证明：PD⊥CD；
(2)求二面角A－PB－C平面角的正弦值．
4．[2020·武威六中第六次诊断考试]如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中点．
(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；
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(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
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5．[2020·安徽安庆一中模拟]如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MN＝C1N.
(1)证明：A1E⊥平面AC1D；
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(2)若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值．
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6．[2020·福建三明一中模拟]如图所示，四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝120°，AB＝2，BE∥DF，且BE＝DF＝3，DF⊥平面ABCD，
(1)求证：平面ABE⊥平面ABCD；
(2)求平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值．