表示的平面图形的面积是？
（2三角带换
（3）正弦定理运用。
三角形最大角比最小角大90度，三边等差，求各边比值 （4）向量？？心的判断
在三角形ABC内存在一点P，使|向量PA|^2+|向量PB|^2+|向量PC|^2最小，则点P是三角形ABC的（ ）心。
（5）
（6）向量
（7）垂心的判断
O为三角形ABC所在平面一点，且/OA/~2+/BC/~2=/OB/~2+/CA/~2=/OC/~2+/AB/~2.试证：AB垂直于OC.
（8）向量共线的一巧解
（9）一三角形形状判断。与均值结合，巧妙的思路。/
在三角形ABC中,已知2√3absinC=a²+b²+c²,试判断三角形的形状
（10）诱导公式解决一正方形内求角，
已知正方形ABCD的边长为1，P,Q分别是AB,AD上的点，求当三角形APQ的周长为2时，角PCQ的大小？？怎样做呢 ？？？，
我想的有点不一样 。
1
（11）向量坐标范围
（12）一个看似向量的圆的问题。
（13）求角平分线上的向量
14、三角函数知值求值。
cosA*sinB = 1/2 , 求 sinA * cosB 的范围。。。 15、外心求参数。
16、换元求最值
若0 54cosx 11,] 4411(C)[-,] 22(A)[-11] 3322(D)[-,] 33(B)[-,18，知角与对边，求边长最大值 2 19、构造距离的“线性规划”最大值。 P(x，y)满足|x-1|+|y-a|=1，O为坐标原点，若|向量PO|的最大值的取值范围为[(17^1/2)/2,17^(1/2)]，则实数a的取值范围是：（ (20)余弦定理解三角形中的角 （2c-b）tanB=btanA，求角A (21) (22)一个外心有关的. 已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心,且∠A=A°,若向量AB乘cosB/sinC+向量AC乘 cosC/sinB=2m乘向量AO则m= (23) 一个点在三角形内部求系数和最值问题。 已知点G是ΔABC的重心，点P是ΔGBC内一点，若向量AP等于λ倍向量AB加μ倍AC，则λ+μ的取值范围（求详解） （1） 叠加法 （2）利用倒序相加思想求和 （4）等差数列的证明； 已知数列an的前n项和为Sn若a1=2,nan+1（角标）=Sn+n(n+1)证明an为等差数列 （6）数列公共项（用到二项式展开） {an}是由数列3的n次方 和数列4n+3的公共项构成 求an （7）数列周期性，二项式定理，整除性 （8）等差数列充要条件 已知bn=(1*a1+2*a2+..........+n*an)/(1+2+.......+n),求证，数列{bn}等差的充要条件是数列{an} 等差. （9）数列最值 an=9n(n+1)/10n(n∈N*), 3 （10）数列{bn}满足b1=1，b（n+1）= bn^2+bn,记cn=1/（1+bn），Sk为数列{cn}的前k项 和，Tk为数列{cn}的前k项积求证T1/（S1+T1）+T2/（S2+ T2）+T3/（S3+T3）+.。。。+Tn/（Sn+Tn）小于7/10. （11 （13）有点怪的数列单调性证明，用到函数0点存在定理。 （1）反证法 另外，这题也可以利用M》|f（1）|，M》|f（-1）|，M》|f（0）| （2）已知a，b是不等正，且abab，求1ab类似的一题： a+b+c=1，abc3,abc，求证222 33224 321bc 32 （3）不等式恒成立 （4）构造一次函数证明不等式 （5）对数和二次结合的超越不等式恒成立（图像） 4 （7）abc0,abc的放缩 （8）用倒和函数单调性求最值（含参） 已知f(x)=a/(1-x)+1/x的定义域为[0.5 , 0.75],0 （14）二次函数单调性比较大小 脱掉导数的外衣这题的本质是二次函数， 也就是说g(x)x(b1)xc0的两根是x1,x2且x2x11,x1t 比较tbtc与x1的大小。 （15）导数解决超越不等式恒成立 请教大家一个问题 f(x)=x^2+2x+alnx x>=1时，不等式f(2x-1)>=2f(t)-3恒成立 问a的取值范围 （16）解含参不等式 22（17）不 等式有解求参数范围 已知二次函数f (x) = 2 x的平方—（ a—2）x —2 a的平方 — a,,若在区间[0, 1]内至少存在一个实数b, 使 f ( b ) > 0, 则实数 a 的取值范围是___________ 此题也可以考虑反面。 （18）均值不等式的使用最容易犯的错误， 举个例子。0x2，求x1的最小值。 x2（18）不等式恒成立、能成立对比题目 5 （19）待定系数法用均值不等式 （20）导数证明数列不等式 已知数列{an}满足Sn=n/2*an(n∈N*),Sn是{an}的前n项的和,a2=1 证明:3/2≤(1+1/2an+1)的an+1次方<2 (中间n+1为下标) （21）换元法求解指数与二次函数复合的最值 求函数 y=a^(2x)+2a^x-1 （a为非1的正数），在区间 [-1，1] 内函数的最大值为14，求a 值。 （22）利用函数单调性比大小。 （23）均值不等式 正实数x1,x2及函数f(x)满足：4=[1+ f(x)] /[1- f(x)]，且f(x1)+f(x2)=1 ，则f(x1+x2)的最小值为（ ） （24）转换主元思想，求最值。 x （25）均值不等式求最值。有难度。 6 正实数x1,x2及函数f(x)满足：4x =[1+ f(x)] /[1- f(x)]，且f(x1)+f(x2)=1 ，则f(x1+x2)的最小值为（ ） （26）主元变换求参数范围 （26）图象法求二次不等式知解求参数问题 （29）构造函数用导数证明数列不等式： a已知a0且不为1，求证：2(anan)n. a1（30）一类典型的构造等比数列放缩证明不等式 已知数列{an}满足an12an+15,a1,设bn=1/(an-1), an23(1)证明:数列{bn+1/2}为等比数列,并求其通项公式.(已解决) (2)证明:a1+a2+a3+ +an （32）一类常见的待定系数求二次函数范围 f(x)=ax^2+bx+c若│f(1)│≤1,│f(-1)│≤1,│f(0)│≤1求证:对-1≤x≤1,有│f(x)│≤5/4 （33）数学归纳法证明数列不等式 （34）对数不等式在定义域上恒成立 若函数 ,且y >4对定义域内的x恒成立，则a的取值范围是 ________________。 （35）均值不等式求最值，需要配系数。 7 （36）设f(x)=ksinx+1（k为正实数） ，判断是否存在最小正数a，使不等式a>f（x）在(0,+无穷)上恒成立，请证明你的结论。 这个解法在高考题中也出现过多次了） （ （37）已知动点P(x，y)满足|x-1|+|y-a|=1，O为坐标原点，若|向量PO|的最大值的取值 范围为[(17^1/2)/2,17^(1/2)]，则实数a的取值范围是： （38） （39）导数解决不等式恒成立。 已知函数f(x)=x2-alnx的图象与g(x)=x-ax的图象与直线x=1于点A、B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g(x)在B点处的切线平行。（1）求函数f(x)、g(x)的表达式；（2）设函数h(x)=f(x)-g(x), 求函数h(x)的最小值；（3）若不等式f(x)>=mg(x),在x∈(0,4)上恒成立，求实数m的取值范围 （40）二项式定理以及裂项证明数列不等式 an=(3n)/(3n+2) 求证：Sn=a1+...+an>n2/(n+1) (41)三个变量的不等式恒成立求参数范围. kabc/(a＋b＋c)≤(a＋b)^2+(a+b+4c)^2对于任意正数a,b,c都成立,求k的取值范围. (42)06江西压轴题的加强证法: （43）先猜出最小值，再用切线法证明。 xxy2,求x2xy2y的最小值. (49) 知解集求参数范围: 不等式|x+b|（2x+1）≤0的解集为{x|x≤-1/2}，则b的取值范围 (50)二次不等式恰4整数解求参数范围 ax^2-2x+1>0有四个整数解，求实数a的取值范围 (51)先猜出取等条件去配凑的均值不等式. 8 含有函数记号“ f(x)”有关问题解法 例1：已知 例2：已知 x)2x1,求f(x). x111f(x)x33，求f(x) xxf(f(x)二次实函数，且f(x1)f(x1)x2+2x+4,求f(x). 例3． 已知例4.已知 y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)lg(x1),求f(x) f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)例5．一已知例6：设 1， 求f(x),g(x). x1f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x1)f(x)f(y)xy,及f(1)=1,求 f(x) 例7 已知 f(xy)f(xy)2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)0,求证 f(x)为偶函数。 例8：奇函数值范围。 例9：如果小 例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0， f(x)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1m)f(1m2)0的实数m的取 f(x)=ax2bxc对任意的t有f(2t)f2t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大 f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。 例2、已知函数f（x）对任意 ，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 ，使得 ， 例3、设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在对任何x和y， 成立。求： （1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。 例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）＞0，x ∈N；② ；③f（2）＝4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如 不存在，说明理由。 9 例5、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足 （1）f（1）； （2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。 ，求： 例6、设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）。如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由。 例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件： ①当是定义域中的数时，有； ②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）； ③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。 试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。 （2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。 例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当 时， 。 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）若例1. 已知函数 ，求a的取值范围。 的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。 二、求值问题例3. 已知定义域为三、值域问题 的函数f(x)，同时满足下列条件：①；② ，求f(3)，f(9)的值。 例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，使得 四、解析式问题 ，求函数 的值域。 总成立，且存在 ， 例5. 设对满足 析式。 五、单调性问题 的所有实数x，函数满足，求f(x)的解 例6. 设f(x)定义于实数集上，当 ，求证： 六、奇偶性问题 例7. 已知函数七、对称性问题 例8. 已知函数八、网络综合问题 满足 时，，且对于任意实数x、y，有 在R上为增函数。 对任意不等于零的实数 都有 ，试判断函数f(x)的奇偶性。 ，求的值。 ，且当x>0时， 例9. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有0 （1）判断f(x)的单调性； （2）设 ， ，若 数列易错题分析 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前n项和之间的关系解题： ，试确定a的取值范围。 1 (n1)ann1【正解】（1）a=10n－2; （2） 23 (n2)2、忽视等比数列的前n项和公式的使用条件： n 例1、已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式an：（1）Sn＝5n2＋3n；（2）Sn＝3－2； n例2、求和：(a－1)＋(a2－2)＋(a3－3)＋…＋(an－n) . 【正解】S=(a＋(a2＋a3＋…＋an) －(1＋2＋3＋…＋n) nn2当a=1时，S = 2a(1an)n(n1)；当a1时，S= 1a21，第二、三项的和为2，求这个等比数列的公比． 163、 忽视公比的符号 例3、已知一个等比数列 an前四项之积为 210q31q546 q26q1q0,q20,2;变式、等比数列{an}中，若a39，a71，则a5的值 （A）是3或－3 （B） 是3 （C） 是－3 （D）不存在C 4、缺乏整体求解的意识 例6、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求a7 18 例7 (1)设等比数列 3an的全n项和为Sn.若S3S62S9，求数列的公比q. q4. 2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛 失2分。 例题7 已知等比数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，证明am，am＋2，am＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 例题8 已知数列{an}满足a1=1，a2=－13，an2 （Ⅰ）设bn2an1an2n6 an1an,求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求n为何值时，an最小（不需要求an的最小值） bnn27n8 当n=8或n=9时 11 例题9 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f(x)的表达式；（Ⅱ)设数列{an}满足条件：a1∈(1,2)，an+1=f (an)求证：(a1－ a2)·(a3－1)+(a2－ a3)·(a4－1)+…+(an－ an+1)·(an+2－1)＜1 f(x)= x3－3x2+3x． bn=b3n11， 中的应用 一、巧设公差（比）求解方程（组） 例1. 解方程： 例2. 解方程组： 二、巧用等差（比）知识解（证）不等式 例3. （第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题）设 ，且，求证： 例4. （第25届IMO）设x，y，z为非负实数，且 ，求证： 三、巧用等差（比）数列知识求最值 例5. 已知 ，求使 成立的z的最大、小值。 四、巧用等差（比）数列知识解有关应用问题 例6. 从n个数 证明：这两部分之和不可能相等。 中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分， 例7. 桌面上有个杯子，杯子口全部向上，按如下规则对杯子进行操作：第一次任意翻动其中1个杯子，第2次任意翻动其中2个杯子，……，第n次任意翻动其中的n（n＜p）个杯子，每次操作都是把杯口的方向由原来的向上（或向下）改为向下（或向上），求证：翻动100次以后杯口向下的杯子必有偶数个。 症状一 基本问题耗时太多 【表现】对一些有特殊结构的等差（等比）数列基本题，做不对或能做对但耗时太多。如：在等差数列中，若a4ana612，Sn是数列an前n项的和，则S9等于（ ）A.48B.54C.60D.66参：B 【症结】 这类题目往往要求灵活运用等差（等比）数列的性质求解。 【突破之道】 熟记有关规律：若 an是等差数列，m,n,p,qN，且mnpq，则有 S2n1(2n1)an amanapaq，特别地， (nN)；又若 an是等比数列， m,n,p,q N，且mnpq，则有amanapaq。 12 例1 已知两个等差数列 an和bn的前n项和分别为An和Bn，且BnnA7n45an，则使得 n3bn为整 数的正整数n的个数是（ ） A.2B.3C.4D.5 【解析】 灵活应用等差数列的性质解题，由 An7n45Bnn3得 A2n17(2n1)45B2n1(2n1)3而 A2n1(2n1)an，B2n1(2n1)bn，代入上式化简得 an127(nN)，易验证当bnn1n1,2,3,5,11时， anbn取整数，所以选D。 症状二 迁移运用能力不强 【表现】 对教材中的内容形式稍加变化的试题不知如何做。如：在数列是常数，n1,2,3an中a12,an1ancn（can的通项an. ），且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列，（1）求c的值，（2）求 参：（1）c=2 （2）ann2n2 【症结】 对教材中讨论过的一些基本方法（如叠加法、叠乘法、逆向相加法、错位相减法）等未能实现灵活的迁移、运用。 例2 已知数列{an}满足a1【解析】 由题意有a13，anan1n(n2)，试求数列的an的通项an. ，an3，a2a12，a3a23，an1n(n2) 把上面n个式子用叠加法相加得an症状三 递推关系题入手难 【表现】对形如“已知a1，且an3(n2)(n1) 2pan1q，求通项an?”的数列问题不知该如何求解 【症结】 对高考试题中的一些典型数列问题（如差等比数列）缺乏系统的求解方法 【突破之道】 差等比数列是高考数列问题的典型。一阶差等比数列问题解题的关键是找到一个适当常数c， {anc}为等比数列，如何找到常数c呢？若常数{an}满足a1a，an1panq，其中a,p,q为 常数，且 p0,1（因为p0,1的情形很简单，可直接求通项，此处从略）。存在常数c，使{anc}为 等比数列，其中的参数c由特征方程c例3 已知数列{an}满足a1pcq给出，从而，可将新问题转化为一个比较简单的问题。 5，an12an6，求数列{an}的通项an. 2an42(an2)，于是可视数列{an2}是以首项a123， 解析 若能注意到an12 13 公比为 q2的等比数列，于是利用等比数列的通项公式得an23(2)n1(nN)，即 n1an23(2)(nN). 症状四 缺乏Sn与an的辩证思考 【表现】 对以Snf(an)或ang(Sn)型给出的递推关系试题不知如何下手，如：设{an}是正数组 成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项。（1）写出数列 {an}的前3项；（2）求数列 {an}的通项公式（写出推理过程）；（3）令 1aabn(n1n)n(N，求)lim(b1b2n2anan1参：略 bnn) 【症结】 对适用于任意数列的重要关系式未掌握和灵活运用之。 【突破之道】 对于任意数列{an}有S1这表明Sna1,SnSn1an(n2)（适用于任意数列的重要关系式）， a1a2a3an(nN)构成了一个新的数列{Sn}，它的通项Sn表示相应数列 {an}的前n项和，它的第一项S1表示数列{an}的第一项a1，当n2时，数列{Sn}相邻项的差SnSn1an，这就是数列{an}与其和数列{Sn}之间的辩证关系。另外，某些特殊数列可以通过适当 的变化（如裂项相消）以后求和。 例4 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1（1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足an(2bn1，且6Sn(an1)(an2)，nN， 1)1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证： 3Tn1log2(an3)，nN. 解析 （1）令n1，得n解得 16a1a123a12 a12 （注意条件a1S11，舍去a11）；若n2，则由6Sn(an1)(an2)得 6Sn1(an11)(an12)，n2两式相减得6an(an1)(an2)(an11)(an12)， n2，整理即得 (anan1)(anan1)3(anan1)，由题意有an0（nN）， anan13（n2）于是数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列，则an3n1，（nN） （2）略。 14 对于一般数列{an}，若已知条件为Snf(an)，求通项an的方法，除了用“尝试——猜想——探求— f(an)首先推出 —发现”（最后用数学归纳法严格证明）思维模式外，还有其他的处理方法，由SnS1a1f(a1)，解除S1a1的大小，接着常有两个思考方向： （1） 当n2时，Snf(SnSn1)，问题转化为Sn与Sn1（n2）的关系问题（前面已求出 S1），求出Sn后，可用a1S1，anSnSn1（n2）求出数列{an}的通项； （2） 利用递推关系作差技巧，由 （n2），两式相减即得anSnf(an)得Sn1f(an1)（n2），而anSnSn1f(an)f(an1)，于是我们就把问题转化为an与an1之间的 数列综合应用问题专题 问题了（一般情况下，转化到这一步问题就比较容易解决了）。 纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题. 一. 典型例题解析: t2t2例1. 已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式； 42(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn； (3)设圆Cn的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn. t22t2(1)设f(x)=a(x－)－，由f(1)=0得a=1.∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1. 42(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得： (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得： 1t1anbn1且t≠0，解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1]n) n1tt(t1)anbn(t1)(3)由于圆的方程为(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上，又圆Cn与圆Cn+1相切，故有rn+rn+1= 设{rn}的公比为q，则 2｜an+1－an｜=2(t+1)n+1 ① ② rnrnq2(t1) n2rn1rn1q2(t1)n12 r1(q2n1)2(t1)4222 ∴Sn=π(r1+r2+…+rn)=［(t+1)2n－1］ 23q1t(t2)15 rn12(t1)n1②÷①得q==t+1，代入①得rn= rnt2［例2］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据 1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由51于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一 4规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点. 技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－ 11－ )万元，…第n年投入为800×(1－)n15511n－1n1－ 万元，所以，n年内的总投入为an=800+800×(1－)+…+800×(1－)=800×(1－)k1=4000× 555k1［1－( 4n )］ 511)，…，第n年旅游业收入400×(1+)n44第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+ －1 11k－1n5－ 万元.所以，n年内的旅游业总收入为bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)=400×()k1.=1600 444k1×［( 5n )－1］ 4(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn－an＞0，即： 5n44)－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，455242得x＜，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 5551600×［(二.专题训练 填空题 .在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是_________. 解析：由1,x1,x2,4依次成等差数列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比数列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4).∴OP1OP26814,OP122,|OP2|5, 1(2,2),OP2=(3,4)∴OP 16 cosP1OP2SOP1P2OP1OP2|OP1||OP2|14522722,sinP1OP21010 答案：1 112|OP||OP|sinPOP225112122210.从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－ bb)升，第二次有纯酒精a(1－)aaba(1)ab，即a(1－b)2升，故第n次有纯酒精a(1－b)n升. 答案：a(1－b)n － aaaa.据2000年3月5日九届五次会议《工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元. 解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案：120000 三、解答题 .据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：(1)2001年回收废旧物资多少吨？(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？ (3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？ 解：设an表示第n年的废旧物资回收量，Sn表示前n年废旧物资回收总量，则数列{an}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列. (1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨) 10[(120%)61]1.66110(2)S6==99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿 (120%)10.2石20×99.3≈1986(万吨) (3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)， 562.4397.2104∴从1996年到2001年共节约：≈3 平方公里. 7.4108设二次方程anx-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用an表示an1； 2 17 11．数列设 an中，a18,a42且满足an22an1an(nN*)⑴求数列an的通项公式；⑵ ， 求 Sn|a1||a2||an|Sn；⑶设 bn= 1(nN*),Tnb1b2bn(nN*)，是否存在最大的整数m，使得对任 n(12an)*m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 32解：（1）由题意，an2an1an1an，{an}为等差数列，设公差为d， 由题意得283dd2，an82(n1)102n. （2）若102n0则n5，n5时,Sn|a1||a2||an| 8102na1a2ann9nn2, 2n6时，Sna1a2a5a6a7an 意nN，均有TnS5(SnS5)2S5Snn9n40故Sn（3）bn29nn2n5 2n9n40n611111() n(12an)2n(n1)2nn1n1111111111Tn[(1)()()(. )()]2(n1)222334n1nnn118 mnm**对任意nN成立，即对任意nN成立， 32n116n1m1(nN*)的最小值是，,m的最大整数值是7。 n12162m*即存在最大整数m7,使对任意nN，均有Tn. 32若Tn【例2】将一枚骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 （ ） ．．Ａ． 【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A． （ 【例4】8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【 【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 ．(答案用分数表示) （6）重复试验——加法原理与乘法原理的复合 【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ） (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．8 【说明】本题虽然属于重复试验.的题型，却有不能死套公式.这是因为：如果甲前两局获胜，则无须打第3局. . 【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互的，且各人的选择相互之间没有影响． （I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 三类概率问题的求解策略 对于一个概率题，我们首先要弄清它属于哪一类型的概率，因为不同的类型需要采取不同类型的概率公式和求解方法；其次，要审清题意，注意问题中的关键语句，因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。 下面略举数例谈谈几种概率应用题的解题技巧和策略。 一、可能性事件概率的求解策略 对于可能性事件的概率问题，除了要用到排列、组合的知识来解决外，还要用到排列、组合的解题思路和方法，同时，在利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时，应注意按下列步骤进行：求出基本事 1 9 Ｂ． 11 Ｃ． 1215 Ｄ． 1 183111 B． C． D． 1051012 19 件的总个数n;②求出事件A中包含的基本事件的个数m;③求出事件A的概率，即P(A)mn 例1 甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛，该竞赛共有15道不同的题，其中听力题10个，判断题5个，甲乙两名学生依次各抽一题。分别求下列问题的概率： （1）甲抽到听力题，乙抽到判断题；（2）甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。 二、互斥事件概率的求解策略 例2 从12双不同颜色的鞋中任取10只，求至少有一双配对的概率。 三、相互事件同时发生的概率的求解策略 例3 在我军的一场模拟空战演习中，我军甲、乙、丙三名飞行员向同一假想敌机炮击，已知甲乙丙三名飞行员击中敌机的概率分别为0.4、0.5和0.7。（1）求敌机被击中的概率； （2）若一名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.2，若两名飞行员击中，敌机坠毁的概率是0.6，若三名飞行员击中，则敌机必然坠毁，求敌机坠毁的概率。 P(A)0.360.20.410.60.14)10.458 概率的计算方法 一、公式法 利用公式 P（随机事件）随机事件可能出现的结果数随机事件所有可能出现的结果数就可以计算随机事件的概率，这里 P＜1． （不可能事件）0，如果A为不确定事件，那么0＜P（A）（必然事件）1，P例1．中国体育彩票每100万张一组，每张2元，设特等奖1名，奖金30万元；一等奖10名，各奖5万元；二等奖10名，各奖1万元；三等奖100名，各奖100元；四等奖1000名，各奖20元；五等奖10万名，各奖2元．小王花2元买了1张彩票，那么他获奖的概率是多少？他得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖的概率分别是多少？ 二、列表法 例2．如果每组3张牌，它们的牌面数字分别是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？ 1．袋中装有3个红球，1个白球，除颜色外完全相同． （1）用实验的方法估计，从袋中随机摸出一球，是白球的概率． （2）计算从袋中随机摸出一球，是白球的概率是多少？ （3）实验估计结果与理论概率一致吗？为什么？你认为要得到较为准确的估计值，应注意哪些问题？ 2．在摸牌游戏中，每组有三张牌，第一组牌面数字分别是2，3，4，第二组牌面数字分别是3，4，5，从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为几的概率最大？是多少？ 3．三张除数字完全相同的纸牌，数字为1，2，3，每次抽取一张为一次实验，多少次实验后汇总下表： 摸牌次数 奇数 奇数频率 20 9 45％ 50 28 100 75 75％ 200 172 300 195 400 176 500 310 62％ （1）将表格补充完整； （2）观察上面的表格，你估计出现奇数的概率为多少？ （3）通过对表格的仔细观察，你有什么想法和感悟？ 4．一张有重要情报的纸片，被随意藏在下面涂有黑、灰、白三种颜色的图形中． （1）藏在那种颜色的区域的概率最大？ （2）藏在哪两种颜色区域内的概率相同？ 20 （3）分别计算藏在三种颜色区域内的概率？ 5．下表左拦是五个装有一些彩色小球的口袋，右栏是五个愿望，请为每一愿望找一个口袋，使这一愿望最有希望实现． 口袋 A袋中装着1个红球、19个白球 B袋中装着20个红球 C袋中装着10个红球、10个绿球 D袋中装着18个红球、1个黄球、1个白球 E袋中装着10个红球、6个白球、4个绿球 愿望 ①想取出一个黄球 ②想取出一个绿球 ③想取出一个白球 ④想取出一个红球 ⑤想同时取出一个白球和一个绿球 6．如图3，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被均匀地分成4等分，每份分别标上1、2、3、4四个数字；转盘Ｂ被均匀地分成6等分，每份分别标上1、2、3、4、5、6六个数字，有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时自由转动转盘A与B； （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），用所指的两个数作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜（如转盘A指针指向3，转盘B指针指向5，3×5＝15，按规则乙胜）． 你认为这样的规则是否公平？请说明理由； 例析概率问题与各章知识的精彩交汇 概率问题与函数知识的交汇 例1：多项飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由抛靶机把碟靶（射击的目标）在一定范围内从不同的方向飞出，每抛出一个碟靶，就允许运动员射击两次.一运动员在进行训练时，每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S（米）成反比，现有一碟靶抛出后S（米）与飞行时间t（秒）满足S=15（t+1），（0≤t≤4）.假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击，且命中的概率为0.8，如果他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击，求他命中此碟靶的概率？ 一、 概率问题与向量、数列知识的交汇 例2：从原点出发的某质点M，按向量a=(0,1)移动的概率为2/3，按向量b=（0，2）移动的概率为1/3，设M可到达点（0，n）的概率为Pn (1)求P1和P2的值；（2）求证： 2 3 4 1 图3 2 3 4 5 1 6 1pn2pn1=（pn1pn);(3)求pn的表达式。 3二、 概率问题与平面几何知识的交汇 例3：两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会面的概率？ 三、 概率问题与立体几何知识的交汇 例4：质地均匀的三个几何体A、B、C. A是硬币，正面涂红色，反面涂黄色；B是正四面体涂了红黄蓝白四色，每面一色；C是正方体，每面涂一色，涂有红黄蓝三色，每种颜色两个面，在水平地面上依次投A、B、C各一次，几何体与地面接触的面的颜色称为“保留色”。 （1） 求A、B、C的“保留色”相同的概率； （2） 求A、B、C的“保留色”恰为两个红色的概率； 21 （3） 求A、B、C的“保留色”互不相同的概率； 附相关练习及答案： 1、从集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3个元素分别作为方程Ax+By+C=0中的A、B、C。所得直线恰好经过坐标原点的概率是 。 2、将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体。 (1)从这些小正方体中任取1个，其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率是多少？ (2)从这些小正方体中任取2个，至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红颜色的概率是多少？ 3.、在某物理实验中，有两粒子a，b分别位于同一直线上A、B两点处(如图所示)，|AB|＝2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，如果a粒子向左移动的概率为 1，b3粒子向左移动的概率为 25. (1)求2秒后，a粒子在点A处的概率；(2)求2秒后，a，b两粒子同时在点B处的概率. n25n15（克）4．袋里装有35个球，每个球上都标有从1到35的一个号码，设号码n的球重．这3些球以等可能性（不受重量的影响）从袋里取出．（1）如果任意取出一球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果同时任意取出二球，试求它们重量相同的概率． 5．某超市为扩大销售调查进入该超市顾客的人数，经观察，在一段时间内，进入超市为n个人的概率为p 1n()p(0)(1n5)(n)满足关系p(n)2 0(n6)（1） 求一个顾客也没有的概率p（0）；（2）求一段时间进入该超市顾客的期望值。 巧求概率 一、注意每次实验的步数，有放回与无放回 例1 袋中有1个白球，2个黄球，问（1）从中一次性地随机摸出2个球，都是黄球的概率是多少？ （2）先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率是多少？ （3）先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次都是黄球的概率是多少？ （2）先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，作为一次实验，此实验分为两步，第一步为：从袋中摸出一球，第二步为：再从剩下的球中摸出一球． 例2 用下图所示的转盘进行配紫色（红色与蓝色配成）游戏：其中A转盘蓝色部分占整个转盘的游戏者获胜的概率？ 《概率与统计》预测题 从原点出发的某质点M，按照向量a为 1．求3(1,0)移动的概率为 3，按照向量b(2,0)移动的概率525，设可到达点(n,0)的概率为Pn．（Ⅰ）求概率P1、P2；（Ⅱ）求Pn2 与Pn、Pn1 的关系并 证明数列 Pn2Pn1是等比数列；（Ⅲ）求Pn． 22 Pn3222n11122n1()() 577535751，某植物研究所3预测题二：（理科）已知从“神六”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败。若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值。 （Ⅰ）求随机变量ξ的数学期望Eξ； （Ⅱ）记“不等式ξx－ξx+1>0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）。 预测题二：（文科）湖南省羽毛球一队与二队进行对抗比赛，在每局比赛中一队获胜的概率都是p（0≤p≤1）。 一．基本事件总数算错误导致错误 例1．（江西九江模拟题）两个袋内，分别装有写着0,1，2,3，4,5的六个数字的6张卡片，现从每个袋子中任取一张卡片，求所得两数之和等于7的概率。 三．“有序”与“无序”判断不准导致错误 例3．（2002年两省一市高考试题）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题有4道，甲、乙两个依次各抽取一题。（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人至少有1人抽到选择题的概率是多少？ 四．“互斥事件”与“事件”混同导致错误 例4．（山西模拟试题）甲、乙、丙三名射手击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85。若他们三人分别向目标发射一，试求三弹都脱靶的概率。 0.09。 五．“互斥事件”与“对立事件”混同致错 例5．（江西南昌调研题）甲、乙两名同学分别解一道数学题，每个人解出这道题的概率都是0.6，求至少有一个人解出这道题的概率。 0.84。 六．忽视公式成立的条件出错 例6．（2001年天津高考试题）如图，用A、B、C三类不同的无件连接成一个系统N．当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90．分别求系统N正常工作的概率P。 2 — B — N 2、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互的随机变量X和Y，其分布列如下： — C — 0.792 Ｘ Ｐ Y P １ ａ 1 0.3 ２ ３ 0.1 2 b 0.6 3 0.3 （1）求a,b的值； （2）比较两名射手的水平. 3、某校要组建明星篮球队，需要在各班选拔预备队员，规定投篮成绩A级的可作为入围选手，选拔过程中每人最多投篮5次，若投中3次则确定为B级，若投中4次及以上则可确定为A级，已知某班同学阿明每次投篮投中的概率是0.5. 23 （1）求阿明投篮4次才被确定为B级的概率； （2）设阿明投篮投中次数为X，求他入围的期望； （3）若连续两次投篮不中则停止投篮，求阿明不能入围的概率. n25n15克，这些球4、袋中装有35个球，每个球上都标有1到35的一个号码，设号码为n的球重2等可能的从袋中被取出. （1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率；（2）如果任意取出2球，试求他们重量相等的概率. 5、甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=求s的值及Y的分布列及期望. 6、一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可新销售75万元. （1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率. （2）求开发商盈利的最大期望值. 7、现在，一些城市对小型汽车开始解禁，小型轿车慢慢进入百姓家庭，但是另一个问题相继暴露出来——堵车，某先生居住在城市的A处，准备开车到B处上班，若该地各路段发生堵车事件是相互的，且在 4，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值. 3ACD 1算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率是0.1，路段CD发生堵车事件的概率是） 15同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率为如图，（例如（1）请你为他选择一条由A到B的路段，使得途中发生堵车的概率最小； （2）若记路线 ACFB中遇到堵车的次数为随机变量X，求X的期望； 高考数学中有关概率问题的解题思路 概率是高中新教材的新增内容，在实际中应用非常广泛，每年高考都占有一席之地。下面就高考中与概率有关的问题的解题思路作一归纳，供大家参考。 一． 离散型随机变量的概率分布和数学期望 例1：（2003年理科高考题）A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员。A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3。按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对 B2 A3对 B3 2 32 52 5 1 33 53 5现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分。设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η。 （Ⅰ）求ξ，η的概率分布；（Ⅱ）求Eξ，Eη。 二． 等可能事件的概率 例2：（2000年理科高考题）甲，乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个， 判断题4个。甲，乙二人依次各抽一题。 （Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（Ⅱ）甲，乙二人中至少有一人抽到选择题的概 24 率是多少？ 分析：（Ⅰ） 4 1513. 15 透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点 例1.(06重庆卷)设函数f(x)=个高点的横坐标为（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间 3cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一 x. 65,上的最小值为3，求a的值. 36 例2.（06山东卷）已知函数f(x)=Asin2(x)(A>0,>0,0<< 函数，且y=f(x)的最大值为2，其2图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求; （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008). 例3.（06福建卷）已知函数f(x)=sin2x+ 3xcosx+2cos2x,xR. （I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？ 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。 近年来，高考解答题加大了对三角函数性质的考查力度，它不仅考查了函数的有关概念，还考查三角变换技能。 例4.（06辽宁卷）已知函数(I) 函数(II) 函数 2．三角函数的性质性质问题 f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x，xR.求: f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合； f(x)的单调增区间. f(x)sinxsin(x),xR. 2 例5.（06广东卷）已知函数(I)求 f(x)的最小正周期； (II)求f(x)的的最大值和最小值； (III)若 f()3，求sin2的值. 425 解： f(x)sinxsin(x2)sinxcosx2sin(x22; 14) （Ⅰ） f(x)的最小正周期为T（Ⅱ） f(x)的最大值为2和最小值2； （Ⅲ）因为 f()3377，即sincos①2sincos,即 sin2 4416163．关于三角函数求值问题 三角函数求值问题，必须明确求值的目标。一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式。解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式。 例6.（06安徽卷）已知 310,tancot 43（Ⅰ）求tan的值； 5sin2（Ⅱ）求 28sin2cos211cos228的值。 2sin2例7.（06北京卷）已知函数 （Ⅰ）求 12sin(2x)4， f(x)cosxf(x)的定义域； （Ⅱ）设是第四象限的角，且tan4，求f()的值. 32)2cos1,(0,),求θ的值. 例8.（08湖南卷）已知3sincos()sin(4．三角形函数的最值问题 三角形函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，是和三角函数求值问题并重的重要题型，是高考必考内容之一。 ππ 例9．(06陕西卷)已知函数f(x)=3sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R) 612(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 5．三角与平面向量综合问题 由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，必将成为高考命题的热点。 例10.（06浙江卷）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤的图象与y轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值； (Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求PM与PN的夹角. 26 ) 2四、典型例题分析 例1、化简sin2sin2cos2cos2cos2cos2 12 分析：对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低； （2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少。 观察欲化简的式子发现： （1）次数为2（有降次的可能）； （2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）； （3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）； （4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种。 解法一：（复角单角，从“角”入手） 解法二：（从“名”入手，异名化同名） 解法三：（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 解法四：（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） ［注］在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法。 例2、已知函数的最大值为2πf(x)absinxccosx(xR)的图像过点A(0，，1)B(，1)，且b>0，又f(x)221，(1)求函数f(x) 的解析式；(2)由函数y=f(x)图像经过平移是否能得到一个奇函 数y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。 ［注］本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。 例3、为使方程cos 2 xsinxa0在0,内有解，则a的取值范围是（ 2 B ） A.1a1C.1a0 B.1a1 5D.a 4［注］换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。 例4、已知向量a(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|ab|255， (1)求cos(α ππ5β)的值；(2)若0α，β0，且sinβ，求sinα的值。 2213点评 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一． 例5、已知向量m（1）求向量n； 1,1，向量n与向量m的夹角为3，且mn1， 4 27 （2）若向量n与向量q1,0的夹角为 2，向量 CpcosA,2cos2，其中A、B、C为 2的取值范围。 ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求np 例6 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2． （１）用a，表示S1和S2； （２）当a固定，变化时，求 S1S2取最小值时的角． ［注］三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数点，但在复习中应引起足够的关注。 三角高考数学题的常规解题途径 由于三角问题公式繁、题型杂、技巧多，学生在做这类题时，往往盲目探索，超时失分现象较为严重。若将各种题型技巧全部强化训练，又会陷入题海。如何解决这一矛盾？笔者认为：三角高考题都有比较明确的解题方向，只要在复习中让学生从整体上加以把握，掌握其常规的解题途径，就能获得事半功倍的效果。 途径1：化成“三个一” “三个一”是指一个角的一种三角函数一次方的形式。这种方法的解题步骤是：运用三角公式，把所求函数变换成“三个一”的形式，即 ftt1。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷tyAsin(x)等形式，再根据已知条件及其性质深入求解。 一般求三角函数的性质问题，如对称性、单调性、周期性、最值、值域、作图象等问题均可用此法。这类题在高考中每年都作重点考查。 例1. （2004年全国）求 f(x)(sin4xcos4xsin2xcos2x)/(2sin2x)的最小正周期、 最大值和最小值。 分析：本题属于求三角函数性质问题，故使用途径1。 途径2：化成“两个一” 若某些问题化不成“三个一”，也可只化成一个角一种三角函数n次方的形式，或一个角的两种三角函数一次方的形式，即只能达到“两个一”的要求。此时可通过配方、求导、解方程、设辅助角等手段进一步求解。 例2. （2004年广东）当0为（ ） A. 途径3：边角转换 若已知三角形的某些边或角的关系，而求另一些边或角或判断三角形形状时，可运用正（余）弦定理或面积公式，把边都化为角，或把角都化为边，然后通过解方程求之。 例3. 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且cosB/cosC求角B；（2）若b 28 x/4时，函数f(x)cos2x/(cosxsinxsin2x)的最值 C. 2 D. 4 1 4 B. 1 2b/(2ac)，（1） 13，ac4，求a的值。 评注：有些学生把条件变形为b(2ac)cosB/(cosBcosAsinAsinB)后，便思路受阻， 途径4：三角变换 显示他们对三角题的常规解法不熟。 三角变换就是运用各种三角公式（倍、半、和差、诱、万能等），通过切弦互化、变角、变名、变次等技巧，将一个三角式恒等变形为另一种形式的方法。 例4. （2002年全国）已知cos(值。 途径5：等价转化 有些问题无法直接选用前4种途径，而需先转化后选用。即先将各已知条件转化为三角形式，然后从前4种途径中择一求解。这类高考题处于知识网络的交汇点上，易发挥考查数学能力的功效，故必是高考常见的命题形式，需重点留意。 例5. （2004年广东）已知 /4)3/5，23/2，求cos(2/4)的 ，，成公比为2 sin，sin，sin也成等比数列，求，，的值。 的等比数列（ [0，2]），且 高三期末(11套)数学试卷分类汇编——三角函数 15．（本题满分14分） 已知(0, 2.函数 2)，tan1，求tan2和sin(2)的值． 23 ysinxcosx的最小正周期是 ▲ . 215．（本小题满分14分） 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知向量m(cos3A3A,sin), 22n(cosAA,sin),且满足mn3， 223a,试判断ABC的形状。 （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若bc15．（1）A3（2）ABC为直角三角形。 2．已知0x2,cosx43，则tanx= ． 5416．（本小题满分16分） 已知向量 b(m,sin2x),c(cos2x,n),xR,f(x)bc，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和 (,1). 4（I）求m、n的值； （II）求 f(x)的最小正周期，并求f(x)在x[0,]上的最小值； 429 （III）当 1.函数 1f(),[0,]时，求sin的值． 251fx2sinx＋的最小正周期是 ▲ . 2 43,0,，则tan()值为 ▲ .7 5424.已知sin15. （本小题满分14分） 在ABC中， 已知mA,B,C所对边分别为a,b,c. (sinC,sinBcosA),n(b,2c),且mn0. （Ⅰ）求A大小. （Ⅱ）若a23,c2,求ABC的面积S的大小. 7．方程sinxax（a为常数，a17．（本小题共15分） 0）的所有根的和为 ▲ ． 0 l1、l2、l3是同一平面内三条不重合自上而下的平行直线． （Ⅰ）如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离也是1，可以把一个正三角形 别放在l1，l2，l3上，求这个正三角形 ABC的三顶点分 ABC的边长； ABC的三顶 （Ⅱ）如图，如果l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，能否把一个正三角形 点分别放在l1，l2，l3上，如果能放，求BC和l3夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，说明为什么？ （Ⅲ）如果边长为2的正三角形 ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，设l1与l2的距离为d1，l2与 l3的距离为d2，求d1d2的范围？ 3．△ （第17题） ABC中，若sinA2sinB，AC2，则BC ▲ ．4 f(x)sinxcosx，xR． 30 18．（本小题满分14分） 已知函数 （1）求函数（2）若函数（3）若g(x)f(x)在[0,2]内的单调递增区间； f(x)在xx0处取到最大值，求f(x0)f(2x0)f(3x0)的值； ex（xR），求证：方程f(x)g(x)在0,内没有实数解． （参考数据：ln20.69，3． 函数 3.14） 1πy2sin(x)的最小正周期T= ▲ ． 23 答案：4π． 9． 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B ▲ ． π答案：． 316．（本小题满分12分） 已知向量a(1tanx,1)，b(1sin2xcos2x,0)，记（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域； （2）若 讲评建议：第（1）问中，必须注意tanx中x的条件． 第（2）中，学生常会将“f(x)ab． π2π，且(0,)，求f()． f()8522πcos(2)”展开，并结合cos22sin221，求解方程组，104求cos2的值．但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练． 9．在△OAB中,OA(2cos,2sin), OB(5cos,5sin),若OAOB5,则SOAB= ▲ . 532； 1．函数 f(x)12sin2x的最小正周期为 2 2．已知ABC三边长分别为a,b,c且ab2c23ab，求C_____30 6.在ABC中，如果sinA∶sinB∶sinC=5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是 ★ ． 1 2015.（本小题满分14分） 已知向量m(cosx,sinx),n(cosx,sinx23cosx),xR,设 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若 f(x)mn. f(x)f(x)的最小正周期. 2413,且x[,],求sin2x的值. 42 31 = 123511235(). ………………………………14分 1321322621（Ⅰ）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求5高考试题中常见的三角函数问题及对策 例1、已知 x0,sinxcoxs3sin2xxxx2sincoscos22222的值. tanxcotx（Ⅰ）用同角的关系沟通有方法1，由sinxcosx即 2sinxcosx24.2511,平方得sin2x2sinxcosxcos2x, 52549注意角所在范围选取符号又 .25(sinxcosx)212sinxcosx2x0,sinx0,cosx0,sinxcosx0, 故 sinxcosx. 75认识同角关系的作用，构建方程组有解法2： 1①xcoxs, 联立方程sin 由①得52sinco2sx1.② sinx1coxs,5将其代入②，整理得 25cos2x5cosx120, 34cosx或cosx.553sinx, 5x0,2cosx4.5（Ⅱ）目标意识沟通代入有, 3sin2xxxxx2sincoscos22sin2sinx1，22222sinxcosxtanxcosxcosxsinx所求值sinxcosx(2cosxsinx)( 例2、已知为第二象限的角，sin121108 )(2)；2551253,5为第一象限的角，cos5,求tan(2)的值. 13解：目标意识,用同角及倍角和角公式的应用, 已知为第二象限的角，sin332tan24，,tan,tan2,5471tan2cos512tan2tan204 ,在第二象限,tan,tan(2).1351tan2tan253例5、已知函数f(x)2sinx2cosx,6x,. 24，求函数f(x)的值； 5 （2）求函数f(x)的值域. （1）若sinx 32 例6、化简f(x)cos(6k12x)cos(6k12x)23sin33(32x)(xR,kZ)，并求函数 f(x)的值域和最小正周期。 分析：诱导公式化简，辅助角公式化归。 例7、函数 f(x)1cos2xcosx （ ） 33，，（，上递增，在[，（，2上递减。 22223，[，3上递增，在（，，（B） 在[0，（，2上递减。 22223，[，3上递减。 （C） 在（，，（，2上递增，在[0， 222233，，（D）在[，（，2上递增，在[0，（，上递减。 2222（A） 在[0， 例8、函数f(x)sinx2sinx，x[0，2]的图像与直线的取值范围是 作图形助数有 1yk 有且仅有两个不同的交点，则kk3为所求; * 例9、 设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积， 22]上的面积为（n∈N），（i）y＝sin3x在[0, n3n4y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为 . 33已知函数y＝sinnx在[0， 象与其直线所围成的非规则图形的面积，应积累这种学习体验。 Ⅳ、三角形中的三角问题 ]上的面积为 ；（ii） 规律总结：利用三角函数图象性质可数形结合研究根的个数问题，注意图象的对称性，可分割法解决图 例10、 已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 解：注意三角形中补角的降元意识，从某一个条件入手构建方程有解法一， 由 sinA(sinBcosB)sinC0得 例11、在△ABC中，已知AB466,cosB,AC边上的中线BD=5，求sinA的值. 36分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力 引入中位线产生解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=构建向量产生解法2： 引边的高产生解法3： 126AB,设BEx, 23b2c2bca2和 c13，求A和tanB的值. b2分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基 33 本运算能力. 规律总结：三角形问题中的三角问题，注意其隐含条件的挖掘.互补角降元，互余角变名常常是变换的思维点；解三角形中若能引入不同的辅助线将会产生不同的思维方法，构建向量利用其概念和运算简化求解三角问题，更显示出向量和三角的相互依赖的关系；正弦定理和余弦定理为“边化角”和“角化边”提供了化统一的依据和方法，要依据题设的特殊性适当的选择. Ⅴ、三角的工具性和应用性 例13、 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、 邻边互相垂直的十字形，其中 yx0.（Ⅰ）将十字形的面积表示为的函 数；（Ⅱ）为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 分析：本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 注意直角三角的函数的意义切入。 解：（Ⅰ）设S为十字形的面积 若用导数解决产生解法二： Ⅵ、三角与向量及导数的网络交汇问题 例14、设函数 f(x)sin(2x)(0)，yf(x)图像的一条对称轴是直线x8 （Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数数确定解析式切入。 （Ⅲ）证明直线5x2yc0分析：由待定系yf(x)的单调增区间； （1） 抽象函数单调性 （2） 函数与点关于直线对称 （3） 二次函数定义域值域相等 A=1b=3 （4） 下翻上图象问题。 A 34 （5）抽象函数不等式问题： 定义在[0，正无穷）上的函数f(x)满足 （1） f(xy)=f(x)+f(y) （2） f(2)=1 （3）当x>y时，f(x)>f(y) 求1. f(1):f(4) 2. f(x)+f(x-3)<2时，求X的取值 一类典型问题。 1，2 2，3小于等x小于4 （高度注意大括号下面两个大于0，是因为函数定义于要求。很容易掉） （6）设定义域为R的函数f(x)= lgx1, x≠1 0, x=1 ,则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 [答]( ) (A)b<0且c>0 (B) b>0且c<0 (C)b<0且c=0 (D)b≥0且c=0 （7）数型结合解决一个看似实根分布的问题。 f(x)=x^2+ax+a+1=0 在[0，2]上有唯一解， （8）图象法解决方程根的个数 （9）函数周期性和奇偶性结合。 f (x)是定义在R上的偶函数,g (x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,则f(2006)的值为 （10）图象看根个数，4次方程 （11）函数不等式结合。 35 （12）一函数最值，利用奇偶性。 （13）图象 解决根的个数 （14）求证2次方程根的分布 （15）定义法证明函数单调性及超越方程无根的说明一题。 教我做下这题，谢谢啊 已知函数f﹙x﹚=（a∧x）+（x-2）/(x+1)（a>1） （1） 证明：函数f(x)在（-1，+∞）上为增函数 （2） 用反证法证明方程f(x)=0没有负数根 （16）一类常见的抽象函数不等式求解 36 f（1）大于等于-2 （17）数型结合解一不等式知解求参数问题。 8 （18）分段函数讨论求最值 设a为实数,函数f(x)=x²+∣x-a∣+1,x∈R,求f(x)的最小值. （3-4a）/4 （19）数型结合解决一图像交点个数问题（数型互换） 已知函数f(x)=x的绝对值/（x+2）与f(x)=kx2有四个交点,求k的取值范围 故k1 （20）二次函数两次跌带不动点问题 已知f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)且方程f(x)=x无实根，下列命题中 ①方程f[f(x)]=x也一定没有实数根； ②若a>0，则不等式f[f(x)]>x对一切实数x都成立。 ③若a<0,则必存在实数x0,使f[f(x0)]>x0。 ④若a+b+c=0，则不等式f[f(x)] 1，2，4对。 （21）08江西卷二次函数最小值讨论 已知函数f(x)2mx2(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 A． (0,2) B．(0,8) C．(2,8) D． (,0) ，0m8 （22）抽象函数，求和。 2 0 （24）分段周期函数、方程有解、图象法。 37 a大于-2 (25) 一个二次函数恒成立,思路巧妙 a1 4 (27) 一个恼火的二次函数平移加不等式恒成立 4为m的最大值。 (28)二次函数值域包含关系求参数 a=9 4(29)11年重庆10题,看似实根分布 设m，k为整数，方程mxkx20在区间（0,1）内有两个不同的根，m+k的最小值为 （A）-8 （B）8 (C)12 (D) 13 ，当m=6时，k=7（2） (30)实根分布判断函数值大小 2 38 B. （1）直线平行充要条件问题。 解析几何：两直线平行的充分必要条件 直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0，很多课外书给出了平行的充分必要条件是 A1B2－A2B1=0且B1C2－B2C1≠0 如果用这个结论来解这道题： 已知两条直线l1:xmy60, l2：当m为何值时,l1与l2平行？ (m2)3my2m0， 2 （2）直线和圆 设足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1。 满足条件（1）（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。 我觉得这题应该先求出圆心轨迹，在轨迹上的点到直线的最小距离。 （3）圆上点到双曲线点距离最小。（转化成圆心到双曲线距离） 2010北大自主招生（三校联招）数学部分 1．（仅文科做）0，求证：sintan． 2【解析】 不妨设f(x)xsinx，则f(0)0，且当0xf(x)在0x时，f(x)1cosx0．于是2上单调增．∴f(x)f(0)0．即有xsinx． 2同理可证g(x)tanxx0． g(0)0，当0x1时，g(x)．于是在上单调增。 g(x)100xcos2x22∴在0x上有g(x)g(0)0。即tanxx。 2注记：也可用三角函数线的方法求解． 39 2．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为51．（25分） 2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ⑴当A,B中有一点位于P点时，知另一点位于R1或者R2时有最大值为PR1；当有一点位于O点时，ABmaxOPPR1； PQR2OR1⑵当A,B均不在y轴上时，知A,B必在y轴的异侧方可能取到最大值（否则取A点关于y轴的对称点A，有ABAB）． 不妨设A位于线段OR2上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB最大的B点必位于线段PQ上． R2PBQ且当B从P向Q移动时，AB先减小后增大，于是ABmaxAP或AQ； 对于线段PQ上任意一点B，都有BR2≥BA．于是ABmaxR2PR2Q 由⑴，⑵知ABmaxR2P．不妨设为x． x-1E1Fx11IAOR1下面研究正五边形对角线的长． 如右图．做EFG的角平分线FH交EG于H． 易知EFHHFGGFIIGFFGH于是四边形HGIF为平行四边形．∴HG1． 由角平分线定理知 EFFGEHx115．解得x． 1x1HG2H1G． 53．AB为y1x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 40 【解析】 不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于点D，直线AC与直线 BD相交于点E．如图．设B(x1,y1),A(x2,y2)， 且有y21x22,y11x12,x10x2． 由于y2x， 于是AC的方程为2x2x2y2y；① yBD的方程为2x1x2y1y． ② yy2联立AC,BD的方程，解得E(1,1x1x2)． 2(x2x1)2y2对于①，令y0，得C(,0)； 2x2 2y1对于②，令y0，得D(,0)． 2x12y12y21x121x22于是CD． 2x12x22x12x21SECDCD(1x1x2)．不妨设x1a0，x2b0，则 211a21b2111SECD()(1ab)(2a2ba2bab2) 4ab4ab1111(ab)(2ab)≥2ab(2ab) ③ 4ab4abEACOBDx不妨设abs0，则有 1111111SECD(s32s)(s3s..s...) 2s2339s9s 6个 9个 12411619161161383≥16ss)]8()8)23． ④ 239s339333又由当x1a时，③，④处的等号均可取到． ,x2b, s3338∴(SECD)min3． 911注记：不妨设g(s)(s32s)，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 2s1111由g(s)(3s222)知当0s2时g(s)0；当s2时g(s)0． 2s33333则g(s)在(0,时g(s)取得最小值． )上单调减，在(,)上单调增．于是当s333 4．向量OA与OB已知夹角，OA1，OB2，OP(1t)OA，OQtOB，0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0t01时，夹角的取值范围．（25分） 5【解析】 不妨设OA，OB夹角为，则OP1t,OQ2t，令 41 g(t)PQ(1t)24t22(1t)2tcos(54cos)t2(24cos)t1． 212cos12x512cos1．而f(x)在(,)上单调增，故1≤ ≤． 54cos54x454cos312cos112cos12当0≤． ≤时，t0(0,)，解得54cos354cos523其对称轴为t当1≤12cos0时，g(t)在[0,1]上单调增，于是t00．不合题意． 54cos2于是夹角的范围为[,]． 23 ，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分） 2(cosxsinx)(cosxsinx)【解析】 不存在；否则有cosxsinxcotxtanx， sinxcosxcosxsinx则cosxsinx0或者1． sinxcosx22若cosxsinx0，有x．而此时,,1,1不成等差数列； 224cosxsinx若1，有(sinxcosx)212sinxcosx．解得有sinxcosx12． sinxcosx11而sinxcosxsin2x(0,]，矛盾！ 22 5．（仅理科做）存不存在0x“解排列、组合应用问题”的思维方法 考点1 考查两个原理直接应用 例1 （03年天津）某城市的中心广场建造一个花圃，分为6个部分（如图）。现要种植4种不同色的 花，每部分种一种且相邻部分不能种同样色的花，不同的种植方法有 20（种） 考点2 考查特殊元素优先考虑问题 例2 （04天津）从1，2，3，5，7，中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被5整除的四位数共有 个。用数字作答） 300个。 考点3 考查相邻排列计算问题 例2（海春）有n48种，则nnN件不同的产品排成一排，若其中A、B两件不同的产品排在一起的排法有 解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大元素，与其他元素一起进行了全排列，然后瑞对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”方法。 n5 考点4 考查互不相邻排列计算问题 例4 （04辽）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ） (A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363 （B）。 考点5 考查排列组合混合计算问题 42 例5 （04陕）将4名教师分配到3种中学任教，每所中学到少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）种 （A）12 （B） 24 （C）36 （D）48 （B）。 考点6 考查定序排列计算问题 例6 （96全国）由数字0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）个 （A） 210 （Ｂ）300 （C）4 （D）600 （B）。 考点7 考查等价转化计算问题 例7 （04湖南）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）个 （Ａ）56 （B）52 （C）48 （D）40 （C）。 例8 （97全国）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）种 （A） 150 （Ｂ）147 （C）144 （D）141 （D）. 考点8 考查二项展开式指定项求法 132湖北) 已知xx3n 例9 (04是 . 5C735. 的展开式中各项系数的和是128,则展开式中x的系数 5考点9 考查二项展开式系数和求法 例10 (04天津)若 12x2004a0a1xa2x2a2004x2004(xR) ,则 a0a1a0a2a0a3a0a2004 . 解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。二项式定理既是公式，又可视为方程式或恒等式， 故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。 解：取x0,x1得 a01；a0a1a2a20041 (a0a1a2004)2004 故原式=2003a0 考点10 考查三项展开式指定项求法 例11 （92全）在 x33x2的展开式中x的系数为（ ） 5 （A）160 （B）240 （C）360 D800 解析：求三顶展开式指定顶时，常通过恒等变形，将其转化为熟悉的两项式，然后分两步运用二项式定理展开求解。 解： x23x2x23x25=Cx505251C5x23x2C3x2 455543 展开式中x项的系数只能是在 5C5(3x2)5中，再次展开 5C5(3x2)5可得x项为 C54.3x.24240x故x项的系数为240，应选B。 此题亦可将其恒等变形为(1x)5(2x)5 ，再把它们分别展开，运用多顶式乘法集项法求解。 考点11 考查二项式定理与近似估值问题 例12 （04湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元。根据以上数据，08年该地区人均收入介于（ ） （A）4200元~4400元 （B）4400元~4460元 （C）4460元~4800元 （D）4800元~5000元 B 考点12 考查二项式定理应用 例13 （91三南）已知函数 2x1nf(x)x证明：对于任意不小于3的自然数n，f(n) 21n1解析：若直接运用二项式定理或数学归纳法去证明困难都大，故应另辟解题蹊径，将其转化为熟悉命题：再证明就容易了。 证明：2n12n1n(11)n1CnCnCnCn2n1 n3， 展开至少有4项，故原命题获证。 历年高考排列组合和二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用排列组合知识、二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们熟悉两个原理，把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。 解决排列组合问题常见策略 典型易错题： 例1 某天有六节不同的课，若第一节排数学，或第六节排体育，问共有多少种不同的排法？ 216种 例2 从4名男生3名女生中选3人成立科技小组，问当选者中至少有一名男生和一名女生的选法有几种？ 30种 例3 n个不同的球放入n－1个不同的盒子，假设每个盒子都有足够大的容量，问每个盒子中至少有一个球的放法共有多少种？ CAn2n1n1＝ n1n！ 2 例4、将4个不同的球放入4个不同的盆子内 （1） 共有几种放法？ （2） 恰有一个盆子未放球，共几种放法？ （3） 恰有一个盆子内有2球，共几种放法？ （4） 恰有两个盆子内未放球，共有几种放法？ 256（种）； 44 （N=C4A4（种） （3）仔细审题，认清问题的本质。“恰有一盆子内入2个球”即另三个盆子放2球，也即另外3个盆子恰有一个空盆，因此，“恰有一个盆子放2球”与“恰有一个盆子不放球”是等价的。 （4）=84（种）。 例5、用0，1，2，3，4五个数字组成各位数字不重复的五位数，若按由小到大排列，试问：（1）42130是第几个数？（2）第60个数是什么？ 区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分23 ① 涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？ ③ ④ ② 5434240 2、 。 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 1) 72 3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出 两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两2 个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？ 1 4 3 分析：可把问题分为三类： 12A522C5A4A52260 2) 二、 点的涂色问题 方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间 45 问题平面化，转化成区域涂色问题。 例6、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 607420 三、 线段涂色问题 12784种 四、 面涂色问题 例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？ 显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原行讨论 解排列组合应用题的21种策略 理分类、乘法原理分步进 排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 （ ） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 D. 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 选B. 3.定序问题缩倍法:在排列问题中某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法 种数是（ ） 46 A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 ，选B. 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 选C. （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A、C412CC4844种 B、 44C12C84C43CCC种 C、CCA种 D、3A341248444124833种 答案： A. 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成3组有C4种方法，再把三组学生分配到三所学校有方法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：B. 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 223A33种，故共有C4A336种 C9684种. 8.条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ A843A833A837A824088种. 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A、210种 B、300种 C、4种 D、600种 选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ 211C14C14C861295种. 47 （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 2112C25C25C25C25种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n(AB)n(A)n(B)n(AB). 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 332AA5A5A4252种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 所以共有 14A3A472种。. 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。 例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种 有 125A4A4A55760种排法. 13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: 例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 ,选.C 例10．(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 例11：（06全国卷I）设集合I1,2,3,4,5。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大 于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种 B．49种 C．48种 D．47种 B. 例12（06天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 A． 说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。 5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。 例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？ 例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种） 说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。 48 6、多排问题，单排法 例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有 （A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种 解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A73A43=186种，选B. 例19．（06辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答) 【解析】两老一新时, 有C3C2A2种排法. 【点评】本题考查了有条件的排列组合问题以及分类讨论思想. 例20．(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 （A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种 选B. 说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。 8、部分符合条件淘汰法 1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？C6C4C23331C10C7C4C14! 分法？ 3!2221122312种排法；两新一老时, 有C12C3A336种排法,即共有 48 90 2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的 例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2 个,则该外商不同的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 （D） 10．隔板法：隔板法及其应用技巧 C12=66个。 【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。 技巧二：减少球数用隔板法。 例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。 分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有 C13 =286 种方法。 分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有 C13 =286 种方法。 【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。 技巧三：先后插入用隔板法。 例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如 49 332果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？ 分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有 C5 种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有C6 种方法。故由乘法原理知，共有C5C6 11．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。 ②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 ③ 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。④ 能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑤ 能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 例30（06北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A）36个 B 例31。（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 24 个（用数字作答）． 12．分球入盒问题 例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ ① 小球不同，盒子不同，盒子不空 解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有 122C3C5C35C2 (+)A3322A2A2111130 种方法。 （B）24个 （C）18个 （D）6个 ②小球不同，盒子不同，盒子可空 解：3种 ③小球不同，盒子相同，盒子不空 解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有C5C2+C5C3=25种 2231225A2A2④小球不同，盒子相同，盒子可空 本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有C5(C4C3)(C5C2+C5C3)41555223122A2A2种 ⑤小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 \\ 00 \\ 00 ，有⑥小球相同，盒子不同，盒子可空 解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。 2那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有C7=21解：分步插板法。 2C4种方法 ⑦小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种 ⑧小球相同，盒子相同，盒子可空 50 解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。 例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内 23（1）共有几种放法？（答：44）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：C4A4144） 23（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：同上C4（4）恰有2个盒子不放球，A4144） 3222有几种放法？（答：C4A4C4C484） 13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？ （2）以涂色先后分步，以色的种类分类。 例34、（2003全国）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分 为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽 种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有 120 种？ 使用，则不同的染色种数为 420 八 例1：设例2：设例 3 5 6 2 1 3 4 例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供f(x1)x23x2，求f(x).f(x)x25x6 f[f(x)]： 设 x11，求f(x).f(x) x21x1111f(x)x22,g(x)x33xxxx，求 f[g(x)].故 f[g(x)](x33x)22x66x49x22 例4：设解 f(cosx)cos17x,求f(sinx). ： f(sinx)f[cos(x)]cos17(x)22cos(817x)cos(17x)sin17x. 22f(x2)2x29x13，求f(x).f(x)2x2x3 二、待定系数法： 例5：已知 三、换元（或代换）法： 例6：已知 1xx2112f(x)xx1 f(),f(x)求.2xxx7 ： 设 例 f(x1)cc2xoos，s求 f(x).f(t)(t1)2,(2t0)即f(x)(x1)2,x[2,0] 51 例8：若 x3x21x1 f(x)f()1x f(x)2x(x1)x例9：设 1f(x)满足af(x)bf()cx(其中a,b,c均不为0，且ab)，求f(x)。 xabacx2bc f(x)2(ab2)x四、反函数法： 例10：已知 f(ax1)x22，求f(x).f(x)log2ax2logax3 五、特殊值法： 例11：设 f(x)是定义在N上的函数，满足 f(1)1，对于任意正整数x,y，均有 f(x)f(y)f(xy)xy，求f(x). f(x)121xx(xN) 221x1，且当x2时,满足f(x1)f(x)lga,(a0,xN)，a六、累差法： 例12：若求 f(1)lgf(x). [x(x1)1]lga 2f(x1)212x1七、归纳法： 例13：已知 1f(x),(xN)且f(1)a，求f(x). 2依此类推，得 f(x)423x八、微积分法： 例14：设 a再用数学归纳法证明之。 123x(|x|1) 22f(sin2x)cos2x,f(1)2，求f(x).f(x)x解析式未给定函数 涉及未给定解析表达式的函数的相关问题通常较难，对同学的基本数学素质要求较高，除了要掌握函数的基本性质之外，还要掌握一定的代数变形方法。本文精选几例给同学们阅读，以期提高同学们的阅读、概括能力，掌握这类问题的解决方法。 【例1】函数 f(x)对任意a、都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1。 bR，f(x)是R上的增函数（2）若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3。 f(x)对任意x、yR都有 （1）求证： 【例3】已知定义在R上的函数 52 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)成立，且方程f(x)0有最小正根c存在。 求证：（1）（3）|（2）f(x2c)f(x)，且f(x)是周期函数； f(0)1，且f(x)是偶函数； f(x)|1，即f(x)是有界函数。 f(x)的定义域为R，且对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时 【例4】函数 f(x)0，f(1)2。 （1）证明： （2）证明：f(x)在R上是减函数；（3）求f(x)在区间[3,3]上的最大f(x)是奇函数； 值和最小值。 【例5】设函数时，0n，对任意实数m，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0yf(x)定义在R上， f(x)1。 （2）求证：f(x)在R上递减； f(0)1，且当x0时，f(x)1； （1）求证： （3）设集合A(x,y)|f(x2)f(y2)f(1)，B(x,y)|f(axy2)1,aR，若 AB，求a的取值范围。 3a3。 函数值域 求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法． 一、用非负数的性质 例１ 求下列函数的值域：（1）y=-3x2+2;（2）y=5+2为{y|y≥5}. x1(x≥-1).{y|y≤2}.∴函数（2）的值域 二、 分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域． 例２ x21x2求下列函数的值域：（1）y=（2）y=2. x1x1,y∈(-∞,1)∪(1,+∞) y∈[-1,1). 三、利用函数单调性 已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例３ 求函数y=3x- 12x的值域. 53 函数y的值域为{y|y≤ 3}． 22 四、利用判别式 特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用 0且a(y)0,求出y的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的x值 例4 求函数y = 解：由y =- ． 3x的最值． x24yx-3x+4y=0,当y=0时，x=0． 当y0时，由=（-3）-44y≥0,得 2 2 2 3x，得2x433y，∵函数的定义域为R，∴y44五、利用数形结合 min =- 3,y4max = 3． 4 数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例5 若（x+ 1y2）(y- 1x2)=0,求x-y的最大、最小值．最大值为1、最小值为- 2． 六、利用换元法求值域 有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例6 求函数y=2x-5+ （-∞，3]． 154x的值域． 七、利用反函数求值域 因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域． -1 例7 exex求函数y= 2(x＞0)的值域．{y|y＞1}. 八、利用已知函数的有界性．y∈(0,5]. 闭区间上二次函数的最值问题 二次函数问题是近几年高考的热点，很受命题者的青睐，二次函数在闭区间上的最值问题是二次函数的重要题型之一。本文系统归纳这种问题的常见类型及解题策略。 一、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 例1. （2002年上海）已知函数的最大值与最小值。 ，当时，求函数f(x) 2. 轴定区间动 例2. （2002年全国）设a为实数，函数 ，求f(x)的最小值。 。 3. 轴动区间定 例3. 求函数 在区间 上的最小值。 54 解。 4. 轴变区间变 例4. 已知 ； ，求的最小值。 二、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。 例5. 已知函数 在区间上的最大值为4，求实数a的值。或 例6. 已知函数 例7. 已知二次函数 在区间上的值域是，求m，n的值。 在区间上的最大值为3，求实数a的值。 或 例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 是奇函数，但不是周期函数 (A) -1 (D) 例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 （C） 例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时， 1x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）0.3 25例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高考理) (A) x = － 225 (B) x = － (C) x = (D) x = (A) 448例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） f (x) = － (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 (B) 例1 比较log2(x1)与log2(2x3)的大小. log2(x1)log2(2x3)。 一、 证明与自然数有关的命题 55 例2 已知x＞-1，且x≠0，nN,n二、 解方程 例3 解方程 2，求证：(1x)n1nx 3x695x2x. x=1是原方程的解. 三、 证明不等式 例4 已知 a、b、cR,cab且cab，求证： cab c1a1b1 四、 求参数的取值范围 例5 已知f（x）是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数且0＜θ＜ 时, 2131f(sin2tsin)f()0,求t的取值范围. 222 求函数的单调区间，常用以下四种方法。 二．利用函数的单调性解不等式 例5.设f(x)在R上是偶函数，在区间（-∞,0）上递增，且有f(2a2+a+1) 例6.设定义域为R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数，若f(klog2t)+f(log2t-log2t-2)>0对一切正实数t成立，求实数k的取值范围。 2221k22。1 点评：本题与题型二中例五比较，实际上是已知不等式的解集逆求不等式中参数的取值范围；去掉函数符号的过程与例5类似。 高考题中复合函数的单调性问题 函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合高考题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供考生在复习中参考. 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型： 例1 (95·全国·理)已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( ) (A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) (B). 二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型： 例2 (84·全国·理)函数y=log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数？x∈(-∞，-2) 56 4x4x)cosf(x),33f(x)为偶函数.又g(x)sin[arccos(x)]sin[arccosx]sin(arccosx)g(x),f(x)cos(g(x)为偶函数,故选D数y=sin(x+ π )的单调递增区间是( ) 4 三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型： 例3 (96·全国·理)在下列各区间中，函 (A).[ ππππ ，π] (B).[0，] (C).[-π，0] (D). [，] B) . 2442 四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型： 例3 (·全国·理)已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( ) (A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数； (C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数. (A). 函数奇偶性 判断函数奇偶性，是近年来高考和高中数学竞赛命题的一个重要内容.本文介绍几种判断函数奇偶性的常用方法. 一、 定义域法 一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 例1 判断函数 f(x)1sinxcosx的奇偶性.∴函数为非奇非偶函数. 1cosxsinxf(x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇 二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算偶性. 例2 若函数 45f(x)sin(x)(xR)和g(x)sin(arccosx)(1x1)，则 32A．f(x)是偶函数，而g(x)是奇函数；B．f(x)是奇函数，而g(x)是偶函数；C．f(x)和g(x)都是奇函数；D．f(x)和g(x)都是偶函数.D 三、 利用 f(x)f(x)0和f(x)f(x)0 在函数f(x)的定义域关于原点对称的前提下，若f(x)+ f(-x)=0，则f(x) 为奇函数；若f(x)- f(-x)=0，则f(x)为偶函数. 例3 判断函数 ylg(xx21)(xR)的奇偶性.奇函数. 四、 利用 f(x)1则f(x)为奇函数. f(x)例4 判断函数f(x)= 1sin2xsinx11sinxsinx12 的奇偶性.f(x)为奇函数. 函数奇偶性 函数的奇偶性是函数的重要性质，也是高中数学教学中的重要内容．如何让学生理解函数的奇偶性并能灵活应用，使每位数学教师不断探讨的问题．本文就几个方面谈几点看法． 57 1 判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 例1：判断函数f(x)=x21x-1x1x+12的奇偶性．奇函数． 2 对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f(x)= 1[F(x)+G(x)] 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)－f(-x) 2 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题． x2x 例2 定义在R上的函数f(x)=2x1三 涉及几何问题中的最值 ，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)． 例4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地。现有材料可筑墙的总长度为l。如果要使围墙围出一块矩形场 l2l地的面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？即当这个矩形的边长为时，所围成的面积最大为， 1此时矩形为正方形。 点评：对于求几何最值问题，应先建立函数关系式，然后再对函数求最值，还要回扣几何问题，特别应注 意的是不要忽略定义域。 1.求一般函数的反函数的基本步骤 例1.求函数 y1x2(1x0)的反函数。y1x2(1x0)。 2.求分段函数的反函数 x2(x0)2x(x0)例2.求函数y1的反函数。y= x(x0)x(x0)2 下面就结合2005年的高考试题，说明如何运用函数与方程的思想方法去分析和解决问题。 例1. 设不等式2x1m(x21)对满足|m|2的一切实数 m恒成立，求实数x的取值范围。 x(7131，)。 22 评注：本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。 例2. 设a，bR，且a33a25a1，b33b25b5，求a＋b的值。 解析：由已知两式结构的相似性，联想到相应函数ab2。 评注：本例由已知式构造函数，再巧用奇偶性和单调性，解法奇妙。选取变元，构造函数关系来解决数学问题，这是运用函数思想解题的较高层次，只有平时多加训练并注意积累，才能做到运用自如。 58 例4. 如果函数yaxb的最大值是4，最小值是－1，求实数a、b的值。 x21 a±4。 b3 评注：本例解法中，对题设中给出的最值，一方面认为是方程的实数解，另一方面又认为是不等式的恒成立条件。由于对题设条件的理解深刻，所以构思新颖，证法严谨。 根据题意考察结合条件的二次函数图象的位置，以形助数列出不等式易求解。 三、与x轴的交点 当二次函数的图象与x轴相交时，利用交点所在位置，根据范围列式，可获简解。 例3. 关于x的实系数二次方程（1）如果（2）如果 且 ，那么 ，那么 的两实根为且 ； 。 ，证明： 例4. 已知二次函数，其中且。 （1）求证此函数的图象与x轴交于相异两点； （2）设函数图象截x轴所得的线段的长为L，求L的取值范围。 五、函数图象的顶点位置 二次函数图象的顶点即二次函数的最大值或最小值点，而在闭区间上的最值问题必须根据顶点的位置变化来讨论解决。 例5. 已知函数 ，当 时， 恒成立，求a的取值范围。 。 六、函数单调性 二次函数的单调性是比较简单的，根据其单调区间的判定，可获得函数取最值的情况，从而可列式来判断参数的取值。 例6. 已知（1）设（2）设 上是增函数。 且，求 的表达式； ，试问：是否存在实数 ，使 在 上是减函数并且在 59
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