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相似三角形
复习要点：
1.相似三角形的定义：对应角 ，对应边 的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做 .
2.相似三角形的性质：①对应角 ，对应边 . ②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于 ，面积的比等于 . 3.相似三角形的判定：
①两 对应相等的两个三角形相似. ② 两边对应 且 角相等的两个三角形相似. ③三边 的两个三角形相似. 4.如何寻找和发现相似三角形
5. 如果两个图形不仅是 图形，而且每组对应点的连线都 ， 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 . O
B
AA C
CB
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么 位似图形对应点的坐标的比等于 或 .两个图形在原 点的同侧，对应点的坐标比为 ；两个图形在原点的异侧， 对应点的坐标比为 .
三、例题分析
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例1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。 （1）求证：△ABC∽△BDC。（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积.
例2.如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，
BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长.
变式：如图1，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是边BC上一点，EM⊥AE，EM交边AC于点M，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．
(1)求证：△ABH∽△ECM；
(2)如图2，其它条件不变的情况下，作CF垂直BC于点C，并与EM延长线交于点F，若E是BC中点，BC=2AB，试判四边形ABCF的形状，并说明理由； (3)在(2)的条件下，若AB=2，求AH的长．
例3. 如图，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．（1）求证：⊙O与CB相切于点E；（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．
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试题训练 一．选择题:
1.（15淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ） A．
B．
C．
D．
C
ABEF第7题图D
1题图 2题图 3题图 4题图 2．（14贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ） A.P1 B. P2 C.P3 D.P4 3.（15武汉市）如图，在直角坐标系中，有两.点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
134．(15株洲)如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( ) A．
1234 B． C． D． 33455．（14本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ） A
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5题图 6题图 7题图 8题图 6．（13贵阳）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）A.1条条条条 7．（15四川乐山）如图，∥
∥
，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已
知，则的值为（d ） A． B． C． D．
8．（13长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（ ） A． B． C． 2 D． 3
二．填空题：
1．△（15江苏泰州）如图，
D为BC 上一点，∠BAD=∠C,AB=6，BD=4，中，则CD的长为_________.
5题图
1题图 2题图 3题图
2．（14海南）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= _________ ． 3．（13牡丹江）如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 _________ ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
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4．（15四川凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ． ． 5．（13安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= _________ ．
6题图 7题图 8题图 6．（15吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m．
7．（15佛山）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10
．四边形BDEF是△ABC的内接正方
形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ．
8．（15柳州）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=2EH/3，那么EH的长为 ．
三．解答题（共5小题）
1．（2014•南平）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C， 求证：AB2=AD•AC．
2．（2014•柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D． （1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．
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3.（15东营）已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E（1）求证：AC·AD=AB·AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当
BC=2时，求AC的长。
4．（2012•陕西）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F． （1）求证：AB=AF； （2）当AB=3，BC=5时，求
的值．
5（选做）（15聊城）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题： （1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）； （2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
6．（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：（1）CG=BH； （2）FC2=BF•GF； （3）
=
．
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6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当
时，求
的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=
OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．
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