均值不等式应用(技巧)学生版

n1a1

1anna1ana1nana12n2an 其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”）

2ab*2. (1)若a,bR*，则） ab (2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”

222ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab） 2*23.若x0，则x112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”） xx若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”） xxxab3.若ab0，则2 (当且仅当ab时取“=”）

ba若ab0，则

ababab） 2即2或-2 (当且仅当ab时取“=”

bababaab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小

值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

11

（1）y＝3x 2＋ 2 （2）y＝x＋

2xx

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解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x54，求函数y4x214x5的最大值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求yx(82x)的最大值。

变式：设0x32，求函数y4x(32x)的最大值。

技巧三： 分离

例3. 求yx27x10x1(x1)的值域。

技巧四：换元

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技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xa的单调性。 2例：求函数yx5x2的值域。

4

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）yx23x11x,(x0) （2）y2xx3,x3

2．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；

3．0x23，求函数yx(23x)的最大值.

条件求最值

1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 .

xy2sinx1sinx,x(0,) 3 / 6 (3)

变式：若log14xlog4y2，求

x1y的最小值.并求x,y的值

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知x0,y0，且1x9y1，求xy的最小值。

变式： （1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy

(2)已知a,b,x,yR且abyy1，求xx的最小值

已知x，y为正实数，且x 2

＋y 2

技巧七、2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1

ab 的最小值.

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变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值.

应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1a11b11c18

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应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若ab1,Plgalgb,Q1a2(lgalgb),Rlg(b2)，则P,Q,R的大小关系是 .

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