有中心集中荷载作用的任意变厚度的旋转扁薄壳的非线性弯曲

第４４卷第３期　２０１１年３月　天津大学学报　Ｖｌ０１．４４　ＮＯ．３　Ｍａｔ．２０ｌ１　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　有中心集中荷载作用的任意变厚度的　旋转扁薄壳的非线性弯曲　侯朝胜　（天津大学建筑工程学院，天津３０００７２）　摘要：中心集中荷载作用的变厚度圆板或旋转扁壳的轴对称非线性弯曲，迄今鲜见研究成果．取三次Ｂ样条函数和　对数函数为试函数，用配点法计算任意变厚度圆板的大挠度和旋转扁壳的非线性稳定．计算了中心集中荷栽作用的圆　板及它和反向均布荷栽同时作用圆板且其中心挠度为零的特殊情形．给出了中心集中荷载作用下，线性或多项式型变　厚度的圆锥壳、球壳或四次多项式型旋转壳的上、下临界荷载．等厚度圆板和球壳的计算结果同其他方法的结果做了　比较．结果表明样条配点法有更高的精度和更大的荷载收敛范围．　关键词：旋转扁壳；任意变厚度；非线性稳定；中心集中荷载；复合荷载；样条配点法　中图分类号：ＴＵ３３　文献标志码：Ａ　文章编号：０４９３—２１３７（２０１１）０３．０２１０．０５　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｂｅｎｄｉｎｇ　ｏｆ　Ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　Ｓｈａｌｌｏｗ　Ｓｈｅｌｌｓ　ｗｉｔｈ　Ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　Ｖａｒｉａｂｌｅ　Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　Ｕｎｄｅｒ　Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｌｏａｄｉｎｇ　ＨＯＵ　Ｃｈａｏ—ｓｈｅｎｇ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｃｉｖｉｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ　３０００７２，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｈｅｒｅｔｏｆｏｒｅ　ｆｅｗ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ａ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ｏｒ　ａ　ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｓｈａｌｌｏｗ　ｓｈｅｌｌ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　ｕｎｄｅｒ　ａ　ｃｅｎｔｒａ１　ｌｏａｄｉｎｇ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｐｕｂｌｉｓｈｅｄ．Ｗｉｔｈ　ｃｕｂｉｃ　Ｂ．ｓｐｌｉｎｅ　ａｎｄ　ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｔａｋｅｎ　ａｓ　ｔｒｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｌａｒｇｅ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ａ　ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｓｈａｌｌｏｗ　ｓｈｅｌｌ　ｗｉｔｈ　ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｗｅｒｅ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆｐｏｉｎｔ　ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ．Ａ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ｗｈｅｎ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ａｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｏｒ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｏｕｎｄ　ｌｏａｄ　ｏｆ　ｉｔ　ａｎｄ　ｒｅｖｅｒｓｅ　ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｌｏａｄｓ，ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ｗａｓ　ｚｅｒｏ．Ｕｎｄｅｒ　ａ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ，ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｌｏａｄｓ　ｏｆ　ｓｈｅｌｌｓ　ｗｅｒｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ　ｃｏｎｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌｓ，ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌｓ　ａｎｄ　ｑｕａｒｔｉｃ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｓｈｅｌｌｓ　ｗｉｔｈ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｏｒ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ａｎｄ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌ　ｏｆ　ａｎ　ｉｄｅｎｔｉｃａＩ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　ｗｅｒｅ　ｃｏｍ—　ｐａｒｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｏｓｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｂｙ　ｏｔｈｅｒ　ｍｅｔｈｏｄｓ．Ｒｅｓｕｌｔｓ　ｓｈｏｗ　ｈｉｇｈｅｒ　ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｗｉｄｅｒ　ｒａｎｇｅ　ｏｆ　ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ　ｌｏａｄｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｒｅａｃｈｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｐｌｉｎｅ　ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｓｈａｌｌｏｗ　ｓｈｅｌｌ；ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ；ｃｏｍｐｏｕｎｄ　ｌｏａｄ；ｓｐｌｉｎｅ　ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　中心集中荷载作用的变厚度薄板壳的轴对称大　非线性较强使收敛性恶化，这些方法得不出解答或得　挠度计算，由于中心力的边界条件处理困难，迄今鲜　见研究成果．但在小挠度假定、线性或二次方变厚度　的条件下，已有圆板的三次近似解答ＬＪ　Ｊ．中心集中荷　不出可靠解答．笔者附加对数函数，把文献［８］的公式　和方法推广，满意地解决了中心集中荷载的问题．　载作用的等厚度圆板的大挠度及球壳上临界荷载的　计算，已有一些解答及实验结果　Ｊ．当荷载较大，因　收稿日期：２００９—０６—３０；修回日期：２００９—１０—１６．　１　基本方程及边界条件　采用同文献［８］一样的模型，但壳顶还有中心集　作者简介：侯朝胜（１９４５一　），男，副教授　通讯作者：侯朝胜，ｌｇｈｃｓ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ＣＦＩ．　侯朝胜：有中心集中荷载作用的任意变厚度的旋转扁薄壳的非线性弯曲　‘２１　１’　中荷载　作用．引入同文献［８］－－样的符号和无量纲　量，再引入　Ｐ＝［３（１一　ｃ－Ｐ　式中：　（　）为三次Ｂ样条函数；Ｂ　、Ｃｉ为待定　系数．式（９）自动满足边界条件式（７）．把式（９）～式　（１１）代入式（１）和式（２），对第ｉ个结点可得　］　式中：　为泊松比；Ｃ为壳底面圆半径；Ｅ为弹性模量；　（　—ｌ一２　＋Ｂｉ＋１）＋三Ｈ（　）‘　［（　一１）　ｈｏ为壳中心厚度．设文献［８］中的分布荷载为均布荷　载ｑ，则变厚度旋转扁薄壳的大挠度方程式的无量纲　＋　（　十广　卜　形式￣ｊ［２－３，７－９］　妄　）＋丢　（　亳　（导　（１）　嘉ｃ　＋　芸ｃ　十号　一　Ｈ　（　）］＋（　＋ｆ０）＝０　（２）　问题的边界条件式可化为　。，　（２＇２０）　：。＝０　（３）　（　）　为有限值　（４）　（　＋，￣ｄｏ－一）　：０　（５）　（　＋　）　：０　（６）　（　２　ｄ２０　卅＝Ｐ　（７）　＝：　０　（８）　４种特殊支承刚度系数取值为＿９］：①固定夹紧　１＝０，　＝２／［１　＋２Ｈ（Ｉ）］；②可移夹紧　１＝０，　＝　０；③铰支承　ｌ＝２／（１＋　），　＝２／［１　＋２Ｈ（１）］；④　简单支承　＝２／（１＋　），　＝０．　２问题的求解　因板壳中心有集中荷载，中心点的大挠度方程式　不成立，中心是奇点，根据板壳理论，从中心竖向力的　平衡可导出边界条件式（７），故必须寻求满足边界条　件式（７）的试函数．选对数函数和三次Ｂ样条函数为　试函数，分划　定义域为　等分，分点号依次为０，　１，…，　，虚设２个结点一１，，ｚ＋１，取Ｓ＝１／ｎ，Ｘｉ＝　，设　＝　＋Ｐ（１＋Ｉｎ　Ｘ）　（９）　＝∑ｎ＋ｌ　乌（孚）　（１０）　ｉ＝－／　＝∑ｎ＋ｌ　（　）　（１１）　［　＋Ｐｘｉ（１＋１ｎＸｉ）＋ｘｉｆ（ｘｉ）】．　１＋４ｃ，＋Ｃ　６Ｇ　（ｘ　）　Ｇ＿３（　＿１＿　地）　（３＋　＋Ｉｎｘｉ＋／１Ｉｎ　ｚ＝１，２，…，　（１２）　ｆ　（Ｑ＿，－２Ｃ＋Ｃｉ＋　＋［＋ｔ）＋　　一　（（删一）　・　６　＋　Ｈ（Ｘｉ２　）（　…　Ｃｉ　ｉ）＋＾　（　，　）：＋Ｐｘｉ（１＋１ｎｘｚ）．　［　（１＋Ｉｎｘ￣　圳＝。　ｉ＝１，２，…，　（１　３）　对ｉ＝０结点，忽略变厚度产生的奇异性，按等厚　度考虑，并且忽略中心集中荷载产生的径向力，对式　（１）和式（２）可得　］　掣Ｓ　一　２ｓ　（、　生＋３　２ｓ　２）：ｇ（１４）　掣Ｓ　＋　生（２ｓ　　生＋ｂ４ｓ　２）：０（１　５）　对边界条件式（３）～式（６）可得　ｌ＋４Ｂｏ＋Ｂｊ＝０　（１６）　ｌ＋４Ｃｏ＋　＝０　（１７）　＋（１－　）　＋　０　（１＋　）Ｐ＝ｏ　（１８）　３２２（Ｇ＋　一Ｃｎ一　）＋　（１一　）・　（　一１＋４Ｃ．＋　＋　）＝０　（１９）　式（１２）～式（１９）共２　＋６个非线性方程，用牛　顿迭代法求解可以确定２　＋６个待定系数　、Ｇ　（ｉ＝一１，０，１，…，，ｚ，　＋１），进一步可得内力及挠度．挠　度表达式为　∑ｎ＋ｌ　＿　ｆｉ－　ｘ，）ｗ：＋　ｌ　（２０）　’２１２’　天　津　大　学　学　报　第４４卷第３期　式中积分常数Ｃ１由边界条件式（８）确定．　（ｒ）：％［１＋∑ｕ　（　］，壳中面方程　ｚ（ｒ）＝［３（　一　）】Ｉ¨　程序中使用双精度数（有１６位有效数字），用牛　ｉ＝１　０　顿迭代法解非线性方程组，满足以下两条件之一，认　ｈ　＂Ｆ…：）　．若为等厚度，则　（ｒ）＝ｈｏ．若为圆板，则　为收敛而结束迭代：①每个方程残数的绝对值小于　ｉ＝ｌ　１０　。；②每个方程残数的绝对值小于０．０１，并且相邻　ｚ（　＝０．　两次迭代　、Ｇ的最大相对误差的绝对值小于１０　。．　例１在中心集中荷载作用下圆板的线性解见表１．　临界荷载计算方法见文献［８］．　Ｌ０等Ｉ１　Ｊ用参数法得到了线性解．不考虑薄膜应　力的影响，可得线性解．即令Ｃｉ＝０（ｉ＝一１，０，ｌ，…，　３算例及说明　＋１），解线性方程组式（１２）、式（１４）、式（１６）和式　（１８），得到　＋３个待定系数Ｂｆ（ｉ＝一１，０，１，…，ｎ＋　１）．文献［１］中　、　的最大值为Ｏ．３．　在所有算例中，泊松比　＝０．３．表１一表６中的下　例２受中心集中荷载的固定夹紧等厚度圆板见　标字母“Ｃ”表示中心，“ｂ”表示边缘；点数１１＂即式　表２．　（１０）一式（２Ｏ）中的ｎ．Ｐｃ　为临界荷载．壳或板的厚度　］　文献［２］的最大值为Ｐ＝３．使用摄动法，收敛范　表１在中心集中荷载（尸＝３）作用下线性或二次方变厚度圆板线性解的中心挠度　Ｔａｂ．１　Ｃｅｎｔｒａｌ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ　０ｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅｓ　ｗｉｔｈ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｏｒ　ｑｕａｄｒａｔｉｃａｌｌｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ（Ｐ＝３）　Ｗ　点数夹紧边界　简支边界　ｎ　ｌ　ｄ１：０，　ｄｌ＝０，　Ｏ＿３　１　０－３　１　Ｏ＿３　１　Ｏ－３　１　文献［１］　２．０１５　２．２９０　５．３３８　６．１７８　２００　２．０４ｌ　７３　１．０３７　８１　２．２８５　８６　１．４３４　７７　５．３７１　６０　２．７５０　８５　６．１８０　７０　３．９６１　４３　１　０００　２．０４２２２　１．０３７　９９　２．２８５　９４　１．４３４９７　５．３７２　７８　２．７５２４２　６．１８Ｏ　８６　３，９６１　８Ｏ　３　０００　２．０４２　３３　１．０３８１７　２．２８５　９５　１．４３４　９９　５．３７２　９７　２．７５２　７７　６，１８Ｏ　８７　３．９６１　８３　表２受中心集中荷载作用的固定夹紧等厚度圆板　Ｔａｂ．２　Ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ（ｕｎｉｆｏｒｍ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ）ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｉｒｇｉｄｌｙ　ｃｌａｍｐｅｄ　ｅｄｇｅ　点数　Ｗ０　（　）　（　）ｂ　一（　）　Ｐ＝－３　Ｐ＝３０　Ｐ＝１　０００　Ｐ＝３　Ｐ＝３０　Ｐ＝１　０００　Ｐ＝３０　Ｐ＝１　０００　Ｐ＝３Ｏ　Ｐ＝－１　０００　文献［２］　１．９１８　２　４．７７５　５　文献［７］　１．９ｌ８１　５．７８２　４．７７５　５　５７．０８　９．９７５　９　１８．４２３　１　０００　１．９１８　３　５．７８９　２３．１１　４．６５３　７　５３．５３　２　９５９　９．９７６　０　１２１．７２　ｌ８．４２３　１８Ｏ．７０　３　０００　１．９ｌ８　２　５．７８４　２１．９８　４．７２１　８　５５．０８　２　９１２　９．９７６　０　ｌ２１．５６　１８．４２３　１８０－８３　ｌ０　０００　１．９１８２　５．７８３　２１．７３　４．７５４　５　５６．１７　２　３７３　９．９７６　０　１２１．５１　１８．４２３　１８Ｏ．８６　３０　０００　１．９１８　Ｏ　５．７８１　２１．６４　４．７６６　８　５６．６９　２　０４６　９．９７６　０　１２１．５１　１　８．４２３　１８Ｏ．８６　围【４　为中心挠度Ｗ。＝２．７（对应Ｐ＝５．５３）．　度Ｗ　．此过程继续下去，直到中心挠度的绝对值小　例３受均布荷载和反向中心集中荷载作用且中　于允许误差１０　。．当荷载很大时允许误差应适当增　心挠度为零的固定夹紧等厚度圆板见表３．　加．在均布荷载ｇ和中心集中荷载一　ｇ共同作用下，　设均布荷载ｇ，中心集中荷载Ｐ　＝一　ｇ（ｉ＝１，　圆板中心挠度为零．文献［３］的最大值为ｑ＝２３．文献　２，…），Ｋ１＝０．２５和Ｋ２＝０．２４，复合荷载　＋Ｐ１或ｑ＋　［７］的最大值为　＝１００．　Ｐ２作用在圆板上，计算得中心挠度分别为ｗ　、Ｗ２．利　例４受中心集中荷载的简单支承等厚度球壳上　用线性插值计算使中心挠度为零的　，然后在曰＋尸３　临界荷载见表４．　作用下，计算得出中心挠度　．设　、Ｗｉ、　＋１、Ｗ…、　有限元法（ＦＥＭ）的解答是使用ＡＮＳＹＳ程序，剖　＋　和Ｗ　为已知，根据拉格朗日二阶插值计算使中　分为５００个轴对称壳元（ｓｈｅｌｌ５　１），用弧长法得出的临　心挠度为零的瞄　在　＋Ｐ『＋３作用下，计算其中心挠　界荷载．　２０１１年３月　侯朝胜：有中心集中荷载作用的任意变厚度的旋转扁薄壳的非线性弯曲　・２１３・　例５受中心集中荷载的线性变厚度球壳（ｂｚ　＝　［１＋　ＩＯ。１（　］、四次多项式旋转壳ｚ（ｒ）　［３（１一　．１０）和圆锥壳（ｂ１＝１０）的稳定见表５　例６受中心集中荷载（Ｐ）的十次多项式变厚度　心　喜２．５（　的稳定见表６．　表３受均布荷载和反向中心集中荷载且中心挠度为零的固定夹紧等厚度圆板　Ｔａｂ．３　Ｚｅｒｏ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ（ｕｎｉｆｏｒｍ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ）ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｌｏａｄｓ　ａｎｄ　ｒｅｖｅｒｓｅ　ｃｅｎ—　ｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｒｉｇｉｄｌｙ　ｃｌａｍｐｅｄ　ｅｄｇｅ　点数（　）　（　）ｂ　一（螈）ｂ　”　ｑ＝２３　＝１Ｏ０　＝５　０００　口＝１００　ｑ＝５　０００　ｇ＝１Ｏ０　ｑ＝５　０００　口＝ｌ００　ｑ＝５　０００　文献［３］　０．２４８　６２　文献［７］　０．２４７　０７　０．２３７　７５　３７．５４　６．９２２１　３５．０９２　１　０００　０．２４７　０５　０．２３７　５５　Ｏ．１９７　８　３４．６５　２　９０８　６．９２５　９　１７４．８　３５．１Ｏ２　５５１．８　３　０００　０．２４７　０７　０．２３７　７１　Ｏ．２１３　８　３５．９６　３　ｌ４６　６．９２２　９　１７１．３　３５．０９５　５４４．７　１０　０００　０．２４７　０７　Ｏ．２３７　７３　０－２１８　Ｏ　３６．８３　２　６３２　６　９２２４　１７Ｏ．５　３５．０９３　５４２．７　表４受中心集中荷载的简单支承等厚度球壳的上临界荷载　Ｔａｂ．４　Ｕｐｐｅｒ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｌｏａｄ　ｏｆ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ａｎ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｓｉｍｐｌｙ　ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ　ｅｄｇｅ　点数　上临界荷载　ｂ，＝１０．２４０　０　ｂ，＝１７．６８２　０　ｂ，＝２２　７５２　９　ｂ，＝１Ｏ０　ｂ，＝５００　ｂ１＝２　５００　文献［５］　１１　３３　６１　文献［６］　１Ｏ．４　３１３　５０　９　ＦＥＭ　１０．２６５　３０．９２０　５０．２９２　６２０．７５　１ＯＯ　１０．２４３　３１．００７　５０．４２０　６２８．４９　８　１２１．２３　９８　２ｌ５．６　５００　１０．２６４　３０．９４７　５０．３３０　６２８．４８９　８　ｌ１７．９６　９８　００６．５　２　０００　１０．２６５　３　３０．９４３　７　５０．３２６　４　６２８．４８７　８　１１７．８４　９７　９９８．５　５　０００　１０．２６５　４　３０．９４３　４　５０．３２６　１　６２８．４８６　８　ｌ１７．８３　９７　９９８．０　表５受中心集中荷载的线性变厚度球壳（ｂ２＝１０）和圆锥壳（ｂＩ＝１０）的临界荷载　Ｔａｂ．５　Ｕｐｐｅｒ　ａｎｄ　ｌｏｗｅｒ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｌｏａｄｓ　ｏｆ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌｓ（ｂ２＝１　０）ａｎｄ　ｃｏｎｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌｓ（ｂ１＝１　０）ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｌｉｎｅａｒｌｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　形状　ｄ　一　固定夹紧　可移夹紧　铰支承　简单支承　固定夹紧　可移夹紧　铰支承　简单支承　球　１　１００　２００　没有明显的跳变荷载值　７１．７２　２１．３４　没有明显的跳变荷载值　一７１．０５　６．８２０　７１．４３　２１＿３８　—７０．６５　６．８２９　冗　Ｏ．５　１ＯＯ　７．５９３　５．３６０　５．４９９　５．４８８　４．５１９　２．７３１　一３．５２７　—３．９２０　２００　７　５８７　５　３６９　５．５０８　５．４９６　４．５ｌ１　２．７３ｌ　—３．５２８　—３．９１１　１００　２９．２７　２６．Ｏｌ　２７．１４　２３　６４　２４　６１　ｌ８．４２　２４＿３１　—１．８７８　圆　ｌ　锥　２００　２９．１４　２６．１９　２７．０７　２３．８４　２４＿３９　１８－２１　２４．Ｏ２　—１．１８５　±冗　　一Ｏ．５　ｌ００　１４．８９　７．７５６　１４．８６　３．９４１　一１．４００　１．０８８　１．７９２　１．６０３　２００　１５．２５　７．７４７　１５　２２　３．９３９　—１．３９８　１．１３８　—０．２４４　１．６００　表６受中心集中荷载的十次多项式变厚度、四次多项式旋转壳的临界荷载、挠度和内力　Ｔａｂ．６　Ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｌｏａｄｓ，ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｎａｌ　ｆｏｒｃｅｓ　ｏｆ　ｑｕａｒｔｉｃ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｓｈｅｌｌｓ　ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ　ｔｏ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｅｎ—ｄｅｇｒｅｅ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　曲线　Ｐｃｒ　牡　（　）　一（　）ｂ　（　）ｂ　铰支承　简单支承　铰支承　简单支承　铰支承　简单支承　铰支承　简单支承　铰支承　简单支承　ｌＯ０　５０．３０７　】２．９９４　１６．０３６　９．５７０　２　７６．７４　１０．５７　９．０３３　ｌ　２２．５６４　１．６２３　０　１．９１５　０　上ｌ临　２００　５０．２５４　１２．９９４　１５．８４６　９．６３１　６　７７．８５　１１３８　９．０２３　８　２２．８６６　１．６１８　６　１．９ｌ６１　界点　１　０００　５０－２３１　ｌ２．９９３　１５．７４２　９．５４１　４　７６．５０　１０．９６　９．０１７　５　２２．５１８　１．６１５　９　１．９０８　３　２　０００　５０．２３１　１２．９９３　１５．７５８　９．５５６　４　７６．Ｏ９　１０－４４　９．０４７　４　２２．５７７　１．６２９　６　１．９ｌ６　３　１Ｏ０　—５９．１４６　３．５８３　ｌ　５．８２６　２　１５．４５７　１０４．０　４．１２２　１３　９１４　４０．６１Ｏ　１５．４８９　７．８９２１　下Ｉ临　２００　—５９．２８１　３．５８４　０　６．１２３　８　１５．４７２　ｌ０８＿３　３．３８５　１３．９０ｌ　４０．６１１　ｌ５．４９５　７．８９ｌ　３　界点　１　０００　—５９．２ｌ９　３．５８３　８　６．２９１　６　ｌ５．４７３　ｌ】１．５　１．８０５　１３．９１７　４０．６１３　ｌ５．４９２　７．８８８　３　２　０００　—５９．２ｌ６　３．５８３　８　６＿３１５　９　１５．４７９　１１４．１　１．２８２　１３．９０４　４０．６０８　１５．４９５　７．８９４　７　・２ｌ４・　天　津　大　学　学　报　第４４卷第３期　表６中，当边界条件变为固定夹紧或可移夹紧时，　｝缶界荷载不存在（加载时没有明显的跳变荷载值）．　４结论　（１）导出的任意变厚度旋转壳大挠度的计算式，　当不计薄膜应力的影响，令壳的矢高为零，大挠度方　程退化为圆板弯曲的线性方程．线性解同用参数法＿Ｊ　Ｊ　得的解答非常一致．在等厚度的条件下，当荷载较小　时所得的结果同其他方法包括有限元法所得的结果　非常一致Ｌ２　Ｊ，这说明本文的方法是可靠的．　（２）有中心集中荷载作用，本文首次计算了任意　变厚度板壳轴对称非线性弯曲问题，并取得了满意的　结果．本文方法比有限元法的计算时间少得多．　（３）没有明显的跳变荷载值是指当荷载逐渐增　加（每步增加Ｐ＝１或５），中心挠度和内力也逐渐增　加，加载曲线不会分支．例５和例６的结果说明由于　边缘的支承条件、壳厚或曲面形状改变（尽管壳的矢　高不变），壳的稳定性问题可不再存在．　（４）一般，浮点数的有效数字足够长，只要点数　增加，可得到更高精度的解答．用不同的点数计算同　一问题，比较它们的结果可判断解答的精度和收敛范　围．对比同文献［８］的结果，要得到同样的精度，中心　集中荷载比分布荷载需要更多的点数．　（５）笔者用附加函数处理奇点的方法，可为许多　具有奇点的物理问题的解决提供借鉴和参考．　参考文献：　Ｌｏ　Ｗ　Ｋ．Ｌｅｅ　Ｌ　Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｆｏｒ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋ—　ｎｅｓｓ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１　９９６，　５８（５）：９５７—９７７．　［２］　Ｙｅｈ　Ｋａｉｙｕａｎ，Ｚｈｅｎｇ　Ｘｉａ￣ｉｎｇ，Ｚｈｏｕ　Ｙｏｕｈｅ．Ｏｎ　ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ａｎｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｖｏｎ　Ｋａｒｍａｎ’Ｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅｓ　ｕｎｄｅｒ　ａ　ｃｏｎｃｅｎ—　ｔｒａｔｅｄ　ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｉｎｔ　Ｊ　Ｎｏｎ．１ｉｎｅａｒ　Ｍｅｃｈ，１９９０，２５（１）：１７．　２６．　［３］　Ｚｈｅｎｇ　Ｘｉａｏｊｉｎｇ，Ｚｈｏｕ　Ｙｏｕｈｅ．Ｅｘａｃｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｌａｒｇｅ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅｓ　ｕｎｄｅｒ　ｃｏｍｐｏｕｎｄ　ｌｏａｄｓ［Ｊ］．　Ｓｃｉｅｎｔｉａ　Ｓｉｎｉｃａ，Ｓｅｒｉｅｓ　Ａ，１９８７，３９（４）：３９１－４０４．　［４］　Ｃａｏ　Ｊｉｎｇｊｕｎ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆｒ　ｈｔｅ　ｌａｒｇｅ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ（Ｐａｒｔ　２）：Ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｗｉｈｔ　ｃｌａｍｐｅｄ　ｅｄｇｅ［Ｊ］．Ｑｕａｒｔｅｒｌｙ　Ｊ　Ｍｅｃｈ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，１９９７，５０（３）：３３３—３４７．　［５］　Ｋａｐｌａｎ　Ａ．Ｂｕｃｋｌｉｎｇ　ｏｆＳｐｈｅｒｉｃａｌ　Ｓｈｅｌｌｓ：Ｔｈｉｎ－Ｓｈｅｌｌ　Ｓｔｒｕｃ—　ｔｕｒｅ　Ｔｈｅｏｒｙ，Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ａｎｄ　Ｄｅｓｉｇｎ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：　Ｐｒｅｎｔｉｃｅ—Ｈａｌｌ，１　９７４．　［６］　Ｂｕｓｈｎｅｌｌ　Ｄ．Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｈｅｎｏｍｅｎａ　ｉｎ　ｓｐｈｅｒｉｃａｌ　ｓｈｅｌｌｓ　ｕｎｄｅｒ　ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｅｄ　ａｎｄ　ｒｉｎｇ　ｌｏａｄｓ［Ｊ］．ＡＩＡＡ　Ｊ，１　９６７，３２：　２０３４．２０４０．　［７］　Ｈｏｕ　Ｃｈａｏｓｈｅｎｇ，Ｙｕｅ　Ｙａｎｌｉｎ．Ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ａｎｄ　ｂｕｃｋｌｉｎｇ　ｏｆ　ａ　ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｐｌａｔｅ　ｕｎｄｅｒ　ｌｒａｇｅ　ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｆｏＴｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００５，１１（３）：　２１６—２２２．　［８］　侯朝胜，李磊．任意变厚度的旋转扁薄壳非缵『生稳定　的样条函数解法［Ｊ］．天津大学学报，２００６，３９（１２）：　１４４６．１４５０．　Ｈｏｕ　Ｃｈａｏｓｈｅｎｇ，Ｌｉ　Ｌｅｉ．Ｓｐｌｉｎｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔａ－　ｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｒｅｖｏｌｖｉｎｇ　ｓｈａｌｌｏｗ　ｓｈｅｌｌ　ｗｉｔｈ　ａｒｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｔｉａｎｊｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００６，３９　（１２）：１４４６．１４５０（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）。　［９］　侯朝胜，武法聘．任意变厚度的旋转扁薄壳非线性稳　定的幂函数解法［Ｊｊ．计算力学学报，２００５，２２（５）：６３３．　６３８．　Ｈｏｕ　Ｃｈａｏｓｈｅｎｇ，Ｗｕ　Ｆａｐｉｎ．Ｐｏｗｅｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｓｈａｌｌｏｗ　ｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ　ｓｈｅｌｌ　ｗｉｔｈ　ａｒ—　ｂｉｔｒａｒｉｌｙ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｆｏ　Ｃｏｍ—　ｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００５，２２（５）：６３３．６３８（ｉｎ　Ｃｈｉ－　ｎｅｓｅ）．