C．
D．
，则sinα=（ ） 2．（4分）设a是实数，且A． B．1
C． D．2 ，
是实数，则a=（ ） 3．（4分）已知向量A．垂直 B．不垂直也不平行 ，则与（ ） C．平行且同向 D．平行且反向 4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ） A．
B．
C．
D．
5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（ ） A．1
B．﹣1 C．2
D．﹣2 ，且位于
6．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为
表示的平面区域内的点是（ ） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．（4分）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（ ） A．
B．2
C．
D．4 9．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 D．既不充分也不必要的条件 C．必要而不充分的条件 10．（4分）A．3
B．4
C．5
的展开式中，常数项为15，则n=（ ） D．6 的直线与抛
11．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为
物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ） A．4
B．
C．
D．8 12．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（ ） A． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） 14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）= ． 15．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为 ． 16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． B．
C．
D．
三、解答题（共6小题，满分82分） 17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围． 18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ P 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （Ⅱ）求η的分布列及期望Eη． 19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2（Ⅰ）证明：SA⊥BC； （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． ，SA=SB=
． 20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x （Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2； （Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围． 21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆
于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． ； 22．（16分）已知数列{an}中，a1=2，（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}中，b1=2，
，n=1，2，3，… ，n=1，2，3，… ，n=1，2，3，…，证明：
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ） 参与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，A． B．
C．
D．
，则sinα=（ ） 【分析】根据tanα=
，sin2α+cos2α=1，即可得答案． =
，sin2α+cos2α=1， 【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=﹣故选D． 2．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a是实数，且A． B．1
C． D．2 ． 是实数，则a=（ ） 【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果． 【解答】解．设a是实数，则a=1， 故选B． 3．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量（ ） A．垂直 B．不垂直也不平行 ，
，则与
=
是实数，
C．平行且同向 D．平行且反向 【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得． 【解答】解：∵向量
，
，得
， ∴⊥， 故选A． 4．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=得b，双曲线方程可得． 【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0）， 则c=4，a=2，b2=12， 双曲线方程为故选A． ， 求
5．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（ ） A．1
B．﹣1 C．2
D．﹣2 ，注意到后面集合中有元素
【分析】根据题意，集合
0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，集合又∵a≠0， ∴a+b=0，即a=﹣b， ∴b=1； 故a=﹣1，b=1， ， ， 则b﹣a=2， 故选C． 6．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于
表示的平面区域内的点是（ ） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） ，且位于
表示的平面区
A．（1，1） B．（﹣1，1） 【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为
域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论． 【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为但∵
， ， 仅有（﹣1，﹣1）点位于故选C 表示的平面区域内 7．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异
面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D． 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可． 【解答】解．如图，连接BC1，A1C1， ∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角， 设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=∠A1BC1的余弦值为， 故选D． a，A1C1=a， 8．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（ ） A．
B．2
C．
D．4 【分析】因为a＞1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案． 【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa， ∴loga2a﹣logaa=，∴故选D 9．（4分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要的条件 D．既不充分也不必要的条件 ，a=4， C．必要而不充分的条件 【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值． 【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x）， ∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”， 而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”， 故选B 10．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）（ ） A．3
B．4
C．5
D．6 的展开式中，常数项为15，则n=
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值． 【解答】解：
的展开式中，常数项为15， 则
所以n可以被3整除， ， 当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15， 故选项为D 11．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为
的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△
AKF的面积是（ ） A．4
B．
C．
D．8 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为
的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，
可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1， 经过F且斜率为（3，2
）， ）， 的直线
与抛物线在x轴上方的部分相交于点A
AK⊥l，垂足为K（﹣1，2∴△AKF的面积是4
故选C． 12．（4分）（2007•全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】化简函数
分别求出单调区间判定选项的正误． 【解答】解．函数
原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx， 对于g（t）=t2﹣t﹣1，当当当且故选A 时，g（t）为增函数， 时，t=cosx减函数， 为关于cosx的二次函数，然后换元，
=cos2x﹣cosx﹣1， 时，g（t）为减函数， ，∴原函数此时是单调增， 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答） 【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题，先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，写出即可． 【解答】解．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员， 其中甲、乙二人不能担任文娱委员， ∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员， 再从4人中选2人担任学习委员和体育委员， ∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种． 14．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）= 3x（x∈R） ． 【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可． 【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称， 则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R） 故答案为：3x（x∈R） 15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为 ． 【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q． 【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列， ∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2）， 解
． 故答案为 16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 2 ． 【分析】由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可． 【解答】解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱
上，∠EDF=90°， 已知正三棱柱的底面边长为AB=2， 则该三角形的斜边EF上的中线DG=∴斜边EF的长为2故答案为：2
． ． ， 三、解答题（共6小题，满分82分） 17．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围． 【分析】（1）先利用正弦定理求得sinB的值，进而求得B． （2）把（1）中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理，进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA， 所以
， ． =
=
由△ABC为锐角三角形知，0＜A＜
． ，0＜
﹣A＜
， =
由△ABC为锐角三角形得（
Ⅱ）
∴＜A＜， ， 所以由此有
． ＜， ，）． 所以，cosA+sinC的取值范围为（ 18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ξ P 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （Ⅱ）求η的分布列及期望Eη． 【分析】（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，根据对立事件的概率公式得到结果． （2）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元．得到变量对应的事件的概率，写出变量的分布列和期望． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款， 设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ， ∴
． （Ⅱ）根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元，250元，300元． 得到变量对应的事件的概率 P（η=200）=P（ξ=1）=0.4， P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4， P（η=300）=1﹣P（η=200）﹣P（η=250）=1﹣0.4﹣0.4=0.2． ∴η的分布列为 η P 200 0.4 250 0.4 300 0.2 ∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）． 19．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2（Ⅰ）证明：SA⊥BC； （Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小． ，SA=SB=
． 【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过成的角为
． ，求出直线SD与平面SBC所
解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明（Ⅱ）.
与
，推出SA⊥BC． 为平面
的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为
SBC的法向量，利用α与β互余．通过，推出直线SD与平面SBC所成的角为【解答】解法一： （1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO， 由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD． 因为SA=SB，所以AO=BO， 又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO， 由三垂线定理，得SA⊥BC． ，
． （Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC， 依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由又
，
，
． ，作DE⊥BC，垂足为E， 则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．
所以，直线SD与平面SBC所成的角为
． 解法二： （Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO， 由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD． 因为SA=SB，所以AO=BO． 又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz， 因为又1），
，所以
，，
，
，， ，
．S（0，0，
，所以SA⊥BC． （Ⅱ），.与的
夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为以α与β互余．
所以，直线SD与平面SBC所成的角为
，
． 为平面SBC的法向量，所， 20．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=ex﹣e﹣x （Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2； （Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的导函数，利用a+b≥2号．得到f'（x）≥2； （Ⅱ）把不等式变形令g（x）=f（x）﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点，在x≥0上求出a的取值范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数f'（x）=ex+e﹣x． 由于
，故f'（x）≥2． 当且仅当a=b时取等
（当且仅当x=0时，等号成立）． （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，则g'（x）=f'（x）﹣a=ex+e﹣x﹣a， （ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g'（x）=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0， 故g（x）在（0，+∞）上为增函数， 所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax． （ⅱ）若a＞2，方程g'（x）=0的正根为
， 此时，若x∈（0，x1），则g'（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数． 所以，x∈（0，x1）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾． 综上，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，2]． 21．（14分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆
的左右焦点分别为F1、F2，
过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． ； 【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距
径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出
，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直
． （Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得
（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=
再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的
最小值． 【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距
， 由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1， 所以，
． （Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1）， 代入椭圆方程
，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0． 设B（x1，y1），D（x2，y2），则
，
|BD|=
因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为
， ； 所以，|AC|=． 四边形ABCD的面积•|BD||AC|=
． 当k2=1时，上式取等号． （ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4． 综上，四边形ABCD的面积的最小值为
． 22．（16分）（2007•全国卷Ⅰ）已知数列{an}中，a1=2，，n=1，2，3，… （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}中，b1=2，
，n=1，2，3，… 【分析】（Ⅰ）先对
，即数列
进行整理可得到是首项为
，公比为
，
，n=1，2，3，…，证明：
的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到进而得到
． （Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b1=a1=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到
进行整理得到
=
证． 【解答】解：（Ⅰ）由题设：
=． 所以，数列
是首项为， 即an的通项公式为（Ⅱ）用数学归纳法证明． （ⅰ）当n=1时，因
，b1=a1=2，所以
，结论成立． ，n=1，2，3，． ，公比为
的等比数列，，
=
，进而可得当n=k+1时再对
（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即也即当
n=k+1时
，
． =
， =
， 又所
以
=
也就是说，当n=k+1时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ． ，n=1，2，3，． 参与本试卷答题和审题的老师有：wsj1012；qiss；wkqd；danbo7801；豫汝王世崇；minqi5；wdlxh；wdnah；涨停；zhwsd；yhx01248；sllwyn；zlzhan（排名不分先后） 菁优网 2017年2月4日
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容