CH现代控制理论讲稿

来源：刀刀网

第六章最优控制……..(侯媛彬)关键点:
1变分法和最优控制概念
2 最大值原理
3 线性最优控制器设计
难点:
线性最优控制器设计

§6-1变分法和最优控制
一、基础概念

1．泛函
为
J?J [ x ( t )]

或简记为J。依据函数定义,泛函可了解为“函数函数”,即泛函值是由函数选择而定。比如,

1?0

( dt

)

选择而定。其中函数

)

是一个泛函, 因为

值是由函数

称为泛函

[

( t

)]

宗量。

2．泛函变分
在泛函极值问题中,泛函变分是处理问题一个关键方法,

下面讨论泛函变分及相关概念。
（1）宗量变分

( t

)

泛函

[

( t

)]

宗量

)

变分, 是指两个函数间差, 记作

( t

)

（2）泛函连续性

若对于函数

)

微小改变, 泛函

[

( t

)]

变换也很微小,

那么就说泛函

[

( t

)]

是连续。

（3）宗量函数相近度

当函数

)

和

)

之差绝对值, 即

对于函数

)

( t

)?x 0t )

（6-1）

和

)

x ( t )?x 0t )和x ( t )?x 0t ) （6-2）

同时很小时, 就说函数

)

和

)

是相差微小或相近。

为了区分上面两种情况,把满足式（6-1）两个函数称为含有零阶相近度,满足式（6-2）两个函数称为含有一阶相近度,含有一阶相近度函数肯定含有零阶相近度,反之,则不一定。依据一阶相近度概念,很轻易推广,即当

x	( t	)	?	x	0	( t	)	,	x	( t	)	?	x	0	( t	)	,	?	,	x	(	k	)	( t	)	?	x	(	k	)	( t	)	（6-3）
																												0

均很小时, 称函数含有K 阶相近度。（4）空间距离

定义在区间

[

]

上连续函数全体是一个函数空间,

记为

[

]

, 其中对应

每个函数

)

全部是这个空间

一点, 定义

C [

]

中两点距离为

(

)

max
?t?

( t

)

( t

)

（6-4）

若定义

[

]

上连续且含有连续K 阶导函数函数全体是一个

空间, 记为

[

]

, 定义

[

]

中两点距离为

(

)

max
?t?

b?x

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

(

)

( t

)

(

)

( t

)

(6-5)

显然,由式（6-4）和式（6-5）定义距离可用来定量

刻划两个函数零阶和K 阶相近度。

那么就说泛函J [ x ( t )]在点x 0t )处是连续。当d ( x , x 0 )按式
（6-4）或（6-5）定义时, 对应称为零阶连续或K 阶连续。

（5）泛函变分

假如连续泛函

[

( t

)]

增量表示式为

（6-6）

[

]

[

]

[

]

应用泰勒公式将（6-6）在x点展开,得

[

]

[(

)

]

[(

)

]

2 !

]

（6-7）

)

当

2 !

很小时, 式（6-7）右边是相关

线性连续泛函, 而

其它均为

高阶无穷小。若用

线性连续泛函和

高阶

无穷小之和表示泛函增量,即有

[

]

L [

,?x

]

r [

,?x

]

（6-8）

那么,就把第一项称为泛函变分,记为

L [

,?x

]

当一泛函含有变分时,也称泛函是可微。泛函变分还能够写成另一个形式,即

?J	?	?	J	[	x	?	??x	]			（6-9）
		??							??	0

（6）泛函极值

若泛函

[

( t

)]

在

x ?x 0t )邻域内, 即
d (

（6-10）

x 0t )处有极大值或极小值。

当距离

定义为

(

)

max
?t?

b {

( t

)

( t

)

( t

)

( t

)

泛函

[

( t

)]

在点

x ?

)

处达成极值, 称为弱极值。

含有强极值泛函必有弱极值,反之不然。（7）泛函极值存在条件

在点

泛函

[

( t

)]

在点

x ?

)

处达成极值必需条件是泛函

x ?

)

变分为零, 即

（6-11）

L [

,?x

]

?x 0?

二、欧拉方程

有了§6-1 概念, 能够深入讨论怎样确定函数

)

, 使泛函

)

达

成极值问题。处理这一问题必需依靠一个关键关系式,这一关系式

称欧拉方程。

在最优控制系统中,其性能指标就是泛函J,所以用变分求解泛

函极值问题,也就是求解最优控制过程。因为控制多样性,其变分

问题也各不相同,现分别讨论。

1、点固定情况

设泛函为

J??t 0 F ( （6-12） t1

泛函J达成极值最优函数。设x(t)是x*t )邻域内一个函数,它和x*t )

满足下列关系

式中,

?
?
?

( t

)

( t

)

)
)

（6-14）

( t

)

( t

)

?是一个数值很小参数,

?(t

)

是任一有连续导数且满足条件

?( t

)

t 1

)

函数。这么端点固定条件得到了确保,即

( t

)

( t

)

, 恒有

( t 1

)

( t 1

)

x 1

显然, 不管函数?(t

)

怎样选, 当初

( t

)

( t

)

即取得了最优函数。

现将式（6-13）代入式（6-11）,得

(?)

t 1?t 0

( t

（6-15）

比较式（6-12）和（6-15）。当式（6-12）在

x ?

* t

)

时达成极值,

相当于式（6-15）在

时取极值。应用式（6-11）, 要使

(?)

取

极值, 必有

(?)

(

(?)

)

???

要使上式在任何时均成立,只有

(?)

（6-16）

所以, 在用式（5-16）, 即可使J (?)取极值。

d

??t
t
0
1?
???
?
x
F ( t , x????x????)??
?
?
x
F ( t , x????x??????
??dt

（注: 设

( t

)

含有二阶连续偏导数, 故求导和积分可交换次

序。）
对上式第二项进行分步积分, 及

t 1
?t 0

F x?dt

F x?t

t
1

t 1 d?t 0 ? dt

F x

t 1 d?t 0 ? dt

F x

则

(?)

t 1
??t 0 ?

F x

)

依据拉格朗日定理: 若连续函数

)

, 对于任意?(ta

]

满

足

[

b?a

( t

)

, 所以有

则在

]

一定有

( t

)

Fx	?	d	F x	?	0	（6-17）
		dt

将方程展开,得

Fx?Fx t?xF x x??x?Fx x?0 （6-18）

式（6-17）或（6-18）常常称为欧拉方程。所以,函数x(t)满足欧拉

方程使式（6-12）即J??t0F(t,x,x)dt泛函取极值必需条件。

三、含有多个未知函数泛函

函可记为

J[x]??t0 F(t,x,x)dt （6-19）

其中,F是数量函数, x是维向量函数。

?x1?

x?
?

?x2?

???

?xn?

采取和数量函数情况相同推论方法,可得向量形式欧拉方程,

?F		?		d	?F	?	0	（6-20）
?x				dt	?x
上式中数量函数	F		对向量函数得导数, 定义为

		?	?F		?
?F		???	?x 1 ?F		? ? ?
	?	?	?x 2 ? ?F
?x		????	?x 2 ? ?F		? ? ? ?
		??	?x	n	??

设端点A是固定得,端点B可沿曲线

( t 1

)

( t 1

)

变动,此时B点得横截条件为

[

(

???

)

]

（6-22）

t 1

四、条件极值变分

问题。处理这类变分通常采取所谓拉哥郎日乘子法, 即结构一个常

有乘子辅助函数

式中

m
?

i?1

?if

（6-23）

是乘子, 它通常是时间函数;

是泛函变量需满足第个约

束方程。则泛函为

t 1
?tHdt 0

（6-24）

这么就得到了一个无条件泛函。下面分两种约束形式进

行讨论。

1.几何约束

现有泛函

t 1?t 0

( t

x 1

)

求它在几何约束条件

i ( t

x 1

)

1 ,

2 ,

(

)

下极值。

设

2 ,

, 应用乘子结构函数为

简记H ( t , x 1 , x 2 , x 1 , x 2 )) （6-26） t 1
J 0??t 0 [ F ( t , x 1 , x 2 （6-25）

然后, 求泛函

无条件极值, 写出欧拉方程

?
?
?
?
?

Hx 1

H x 1

（6-27）

dt d

H x

将约束方程和欧拉方程联立求解, 即可求得

x 1, x

和

?3 个未知函

数。利用端点边界条件可确定欧拉方程中积分后4个任意常数。

2.运动约束

当约束方程中含有函数导数项时,我们称此时得约束条件为运

动约束, 其通常表示式为

( t

x 1

)

在这种约束条件下求泛函极值方法,和求几何约束泛函极值方

法完全一致。

§6-2最大值原理

最大值原理是又一个求解最优控制问题方法。它是庞特里雅金

等人提出。这种方法是古典变分学延伸,但能成功古典变分法不易

处理问题。

定理: 设U(t)是一个许可控制, x(t)是对应于U(t)轨线, P(t)是

对应于U (t )和x(t )得共态变量, 则为最优控制U*和最优轨

线

在点u?U*t )处达最大值。此定理就是“最大值原理”。

[例6-1]有以下二阶系统

且

( t

)

x 1

?
?
?

x 1

(

0 )

使系统在终态自由情况下使泛

x 1

(

0 )

, 试求出最优控制

* t

)

函

( t

)

t 1

取极值。

解: 先结构H函数

P 1

(

x 1

)

P 2

x 1

??C i x i ( t )可知, 本

据通常形式最优控制问题中泛函形式

例中

C 1

0 ,

依据哈密顿正则方程,得

?????

?x 1

又依据

)

1 ,

终点条件, 即

(

( t

P i

( t

)

?C i

有

P 1

( t 1

)

P 1

( 1 )

?C 1

P 2 ( t 1 )?P 2 ( 1 )??C 2??1
下面解方程组
?

P 2

( t

)

代入终点条件,得

P 2

( t

)

即

P 2

( t

)

(

)

将

)

式代入

)

, 有

?P 1

解方程

dP 1

则通解为

P 1

1 dt ?

P 1

代入终点条件,

, 有

P 1

( t

)

t?1

(

)

约束条件下达成

现利用最大值原理, 为了使变量函数H 在

最大值, 即

P 1

达最大值,

只有取

u(t)?
?

?
?

?1
1

,
,

P
P1

2
(

(
t

t
)

)
?

?
0

又因为在区间[0 , 1 ]内,由(d)式可见P1(t)?0,所以应取

u(t)??1

在P1(t)?0时,u(t)没有定义。

故将u(t)??1和初始条件代入系统方程,可得最优轨线方程为

x ( t )??2??t?
x 1 * ( t )?2??t?1

*应该注意得一点是,最大值原理仅是泛函取最小值得必需条

件,并不充足,所以求得解是否为极小值还要进行验证。易证实,

本例中

( t

)

确使

J ?

( 1 )

达成了极小值。

§6-3线性最优控制系统

一、二次型性能指标得最优控制问题当性能指标泛函含有形为

( t

)

( t

)

t 1

x?Qx

?RU

] dt

（6-28）

?t 0

时候称为二次型性能指标。其中和

是半正定对称矩阵,

是正

定对称矩阵。上式中第一项中系数

是为了简化计算。

下面是相关有限时间调整器问题。

设n阶系统

?
?
?

A ( t

)

( t

)

( t

) u

( t

)

（6-29）

( t

现在需要确定使性能指标

J	?	1	t 1	[	x?Qx	?	U	?RU	] dt	（6-30）
		2	?t 0

取极小值得最优控制U

?Y??YA?A?Y?Y （6-31）其中是固定,终态1 x ( 1

上式为能够成状态反馈闭环系统最优控制表示式。

现在把二次型性能指标调整器问题求解过程写成以下定理

定理: 若给定线性系统

?
?
?

A ( t

)

( t

)

( t

) u

( t

)

( t

其中控制u 没有约束,

A (t

)

和

)

是连续, 且性能指标泛函为

t 1?t 0

[

x?Qx

?RU

] dt

（6-33）

其中

是连续、正定、对称矩

是连续、半正定、对称矩阵,

阵,则使泛函J取最小值最优控制为

( t

)

( t

) Y

( t

)

( t

)

（6-34）

而最优控制性能指标函数为

其中, 矩阵

[

( t

]

( t

) Y

( t

)

( t

)

（6-35）

( 1 ?

解。

)

是矩阵里卡拉方程

A?Y

YBR

B?Y

满足终点条件

两点说明:

① 若把（6-33）式右边	1	舍去, 则只对应地把（6-35）右边	1	舍
	2		2

去即可;

② 若泛函J 取更通常形式 J? 1 2 x?( t 1 ) Sx ( t 1 )? 1 2?t t 0 1 [ x	（6-36）
现在举例说明定理应用。

[例6-2] 已知系统

0 )

和性能指标函数

( t 1

)

t 1?t 0

[

] dt

。

求最优控制

和最优性能指标

解: 由题意知,

1 ,

2 ,

则里卡拉方程为

2 ,

( t 1

)

用分离变量法求解方程

		dy				?	dt
y	2	?	y	?	2

分母配方后,两边积分得,

y	?	?	1	?	3	th	(	?	3	t	?	c	)
			2		2				2

其中积分常数决定于终点条件

若设

( 1

)

1 . 845

, 则可解出

0 ,

t 1?

最优控制为

( t

)

[

0 . 5

1 . 5 th

(

?1 . 5 t

1 . 845 )]

( t

)

V * [ x ( t ), t ]?1
2 [?0 . 5最优性能指标函数

ch 1 . 845

显示全文

全部频道

CH现代控制理论讲稿